二維高斯模糊，或者說高斯濾波，是影象處理中非常常見的操作。操作的核心是使用乙個從高斯分布中取樣得到的掩膜，或者叫核，和輸入中的每個畫素及其鄰域進行計算，結果儲存到輸出中。假設高斯核視窗尺寸為(2
w+1)
×(2w
+1) ，高斯分布的標準差為
σ ，則高斯核可以表示為矩陣的形式
由於高斯分布的概率密度函式的非零值區間主要集中在 (−
3σ,3
σ)內，所以為了保證選取的高斯核的完整性，一般取 w≈
3σ 。
說完了高斯核，該說高斯模糊的表示式了。設輸入為
x ，輸出為
y ，第
i 行第
j 列的資料表示為 x(
i,j)
和 y(
i,j)
，則使用視窗大小為 (2
w+1)
×(2w
+1) ，標準差為
σ 的高斯核計算後的結果為
但是，注意到，高斯核的表示式是可分離的。下面為了表示方便，令
下面來考慮上述方法在記憶體訪問效率方面的問題。利用 g2
和 x 計算
z 的過程中，記憶體訪問都是連續的，都是從左到右的形式。但是在利用 g1
和 z 計算
y 的過程中，取出每一列中的相鄰資料，需要跨行。如果需要處理的寬度比較大，跨行訪問資料可能會導致 cache miss，這是違反了記憶體訪問區域性性原則的。為了解決這一問題，利用 g1
和 z 計算
y 的方法需要調整。
實際上，利用 g1
和 z 計算
y 同樣可以按行的方式計算。為了表述方便，以計算
y 的第 2 行（下標從 0 開始）y(
2,⋅)
為例， y
(2,⋅
)=g1
(0)z
(0,⋅
)+g1
(1)z
(1,⋅
)+g1
(2)z
(2,⋅
)+g1
(3)z
(3,⋅
)+g1
(4)z
(4,⋅
) 其中 g1
(i)
表示 g1
的第 i
個元素，z(
i,⋅)
表示 z
的第 i 行。
在**實現的時候，為了計算 y(
2,⋅)
，初始化乙個長度為 8 的浮點數行向量
t ，令裡面的值全等於零，然後用遍歷行元素的方式進行如下計算 t
tttt
=t+g
1(0)
z(0,
⋅)=t
+g1(
1)z(
1,⋅)
=t+g
1(2)
z(2,
⋅)=t
+g1(
3)z(
3,⋅)
=t+g
1(4)
z(4,
⋅)
最後將 t
中的浮點數的值四捨五入賦值給 y(
2,⋅)
。這樣就避免了記憶體訪問跨行的問題。注意，為了滿足記憶體訪問的區域性性，增加了記憶體使用量，多用了 t
。對於邊界行，按照映象對稱的方式選取相應行進行計算。比如，為了計算 y(
0,⋅)
，初始化乙個長度為 8 的浮點數行向量
t ，令裡面的值全等於零，然後用遍歷行元素的方式進行如下計算 t
tttt
=t+g
1(0)
z(2,
⋅)=t
+g1(
1)z(
1,⋅)
=t+g
1(2)
z(0,
⋅)=t
+g1(
3)z(
1,⋅)
=t+g
1(4)
z(2,
⋅)
最後將 t
中的浮點數的值四捨五入賦值給 y(
0,⋅)
。本文中所講述的高斯模糊的計算方法，可以擴充套件到任意尺寸可分離核的濾波的實現。
設輸入資料為
x ，hx
行 wx
列，濾波核為
k ，(2
hk+1
) 行 (2
wk+1
) 列，使用
k 對
x 進行二維濾波的結果是
y 。而直接採用二維迴圈的原始計算方法，需要進行 (2
hk+1
)×(2
wk+1
) 次乘法計算和 (2
hk+1
)×(2
wk+1
)−1 次加法計算。計算的時間複雜度是 o(
wkhk
) 的。
如果 k
是可分離核，可以寫成列向量 kv
erti
cal 和行向量 kv
erti
cal 相乘的形式，即 k=
kver
tica
l×kh
oriz
onta
l 。那麼在計算濾波結果
y 的時候，可以先用 kh
oriz
onta
l 對
x 進行行濾波計算，將計算結果儲存到
z 中，計算
z 中的每乙個數值需要 (2
wk+1
) 次乘法計算和 2w
k 次加法計算。再使用 kv
erti
cal 對
z 進行列濾波計算，得到最終結果
y 。在
z 的基礎上計算
y 中的每乙個數值需要 (2
hk+1
) 次乘法計算和 2h
k 次加法計算。總的來說，根據
x 計算
y 中的乙個數值，需要進行 (2
hk+2
wk+2
) 次乘法計算和 2h
k+2w
k 次加法計算。計算的時間複雜度從 o(
wkhk
) 降至 o(
wk+h
k)。列濾波的過程還可以考慮記憶體訪問的區域性性原則，以提高程式的執行效率。
可分離核的實現方法和列濾波的記憶體訪問加速的實現方法，都需要消耗額外的記憶體，用空間複雜度的提高換取時間複雜度和效率的改進。
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