**：
略刪改。
sdm(supervised descent method)是一種監督下降方法，屬於解決非線性最小化nls(non-linear least squares)問題的一種方法。
解決非線性最優化問題通常有2個難點，
（1）方程不可微，或者計算量太大
（2）hessian矩陣太大，或者不是正定矩陣
基於這樣的難點，作者提出了自己的sdm方法，可以用於解決上述的問題，並成功的用次方法解決了人臉對齊中關鍵點的回歸問題，取得了state-of-the-art的效果。
ps:還是很喜歡這個圖中的牛頓，高斯和拉格朗日。
sdm推導：
sdm的過程就是最小化上面函式的過程，其中，
d為m*1維，表示有m個畫素，
d(x)為p*1維，表示p個landmarks，
h為非線性的特徵提取函式，提取的sift特徵h(d(x))為128p維
將上式子進行泰勒展開變為了下面的式子，
第一次初始化det(x1)按下式計算，
初始化時，第一次對於det(fai)的計算，可以看成det(fai)到r0的投影，因此，也可以近似的將r0看成是梯度方向。
由於將r0近似為梯度方向，所以det由上面的非線性問題轉化為下面式子的線性問題，
整個的訓練過程就是求乙個最佳的r0和b0的過程，來保證det最小。最終也就將遞推公式由下面的第乙個式子轉化為下面的第二個式子，也就不需要hession矩陣和jacobian矩陣的計算了。實現了由2次問題到1次問題的轉化，但是2次問題肯定會收斂，1次的則很難保證，因此，作者引入了fai(k)這個一系列的特徵向量，而不是上式一樣，只有乙個fai(0)，從而來保證收斂，實驗過程中，迭代4-5次後就會收斂。
訓練過程中，採用l2-loss，如下式子，
假設x服從正態分佈，採用蒙特卡洛（monte carlo）方法取樣，轉化為求下式的最小值，
採用多個特徵向量後就轉化為下式，
實驗效果：
在人臉對齊中，乙個很重要的效能指標就是姿態估計，包括，yaw（左右旋轉），roll（平面內旋轉），pitch（上下旋轉）
按作者**中在youtube上面的測試，姿態估計可以實現，yaw(-45到+45)，roll(-90到+90)，pitch(-30到+30)，在i5-2400上達到了30fps的速度。
github上熱心網友的程式：
reference：
[2]www.humansensing.cs.cmu.edu/intraface
sdm 人臉對齊的核心內容很簡單，就是特徵到偏移量的對映：
ix = r
i 是特徵，x是對映矩陣，r是偏移量。sdm人臉對齊方法訓練的目的就是得到對映矩陣x，步驟如下：
1）歸一化樣本，使樣本的尺度統一；
2）計算均值人臉；
3）將均值人臉，作為估計人臉放在樣本上，使均值中心和原始人臉形狀中心對齊；
4）計算基於每乙個均值人臉的標記點的特徵，sift，surf或者hog，切記不要基於灰度值的相互特徵；
5）將所有點的特徵串在一起，形成樣本特徵，所有樣本特徵形成矩陣i；
6）計算估計人臉和真實人臉之間的偏移量，並形成矩陣r；
7）解線性方程ix=r， matlab中可用x = i \ r，lapack中可用函式dgelsd。
估計形狀加上**偏移量就是結果，在實際情況中，共需要訓練多層，二層以後需要使用上一層對齊的結果作為估計形狀。
實際在運用過程中可能會遇到各種問題，總結下來有以下幾點：
1）速度太慢，尤其是使用sift，surf特徵；
2）無效，基於灰度值類的特徵由於在標記點周圍的小視窗內，灰度值基本一致，變化不大，這也是人臉的乙個顯著特徵；
3）效果有待提高，hog特徵有效的解決上述問題，但是始終不理想，尤其是，水平大角度偏轉。
對齊效果見下面的。訓練資料是手工標記的4000張，經過隨機仿射變換擴充套件至60000（此方法提公升效果有限）。一張人臉的對齊速度在3.5ghz cpu上單核是1.8ms，可多核提速，模型大小2.4m左右，並成功運用到人臉標記點追蹤上，追蹤可以解決大角度偏轉，大部分90度偏轉也是有效的
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