2017-07-27
在學習圖形學課程中，乙個很重要的部分就是繪製曲線、曲面。其實，這部分需要的基礎課程有「最優化」、「數值分析」，其實，想要完全弄清楚，還是有一定難度的。但是，曲線、曲面的繪製是分為兩部分的，一部分是數學，一部分是繪製。
一，擬合
簡單來講，問題的定義是：我們通常會獲取到一些離散的點，二維的、三維的， 比如在cad軟體開發需求中，我們經常獲取到的資料可能是手工測量的，可能是手繪的，可能是從檔案中儲存離散點，我們想要知道穿過這些點的曲線的函式，方便後續更加精密的加工。又或者我們已經有曲線方程。此後，我們需要把曲線繪製出來。
1.1，擬合簡單函式
當我們知道這些點表示的圖形大概是什麼曲線。比如說知道它是二次曲線，就想辦法求出來 f(x) = ax2 + bx +c ， 如果是三次曲線，就求出來方程 f(x) = ax3 + bx2 + cx + d。對於更曲折的曲線，需要使用更高次的函式來擬合資料。
scipy.optimize.curve_fit() 可以用來擬合線性、非線性方程，這個演算法是利用 least squares實現的。至於least squares方法計算的時候，針對求解的問題，誤差和引數還有不同的演算法，如無約束問題採用「levenberg-marquardt方法」；如果提供了邊界值，則採用trust region reflective 演算法。我們需要特別注意「最小二乘」，它的重要性是如此之高，是一定要掌握的。上面的例子及**演示了我們知道函式是什麼形式的，但是，有些時候，我們並不知道曲線的方程形式，或者曲線過於曲折。 樣條曲線一般由多項式分段定義表示。在插值問題中，樣條插值通常比多項式插值好用。多項式分段時，每一條曲線都用低階的 多項式表示，我們可以用多段曲線連線成一條曲線。
1.2，擬合高次曲線
我們一般不會願意處理高次函式的，一者計算量大，二者計算誤差大。 所以，我們會使用多段的低次曲線連線起來，來擬合複雜曲線。 spline 有很多種，我們常見的有bezier spline，b-spline，nurbs，hermitian spline， catmull-rom spline等等，演算法都是不一樣的。
在向量作圖軟體中，多段三次bezier曲線用的較多，在cad中，bezier spline有所不足，每改變乙個控制點，就會改變曲線的整體樣式。可謂牽一髮而動全身。b-spline，nurbs使用較多，工業上實際的標準是nurbs，像一些簡單的場合，想我們團隊在做的製衣cad軟體裡，只用b-spline就足夠了。b-spline分為均勻與非均勻的，當節點等距，稱b樣條為均勻(uniform)否則為非均勻(non-uniform)。但是nurbs並不是後面乙個，它的全稱是」非均勻有理b樣條「。
scipy.interpolate.univariatespline() 的引數中，k，整型，可選值，預設為5，最高為5。為什麼呢？由於龍格現象會導致數值不穩定，得出來的曲線，可能並不是我們想要的。univariatespline 這個函式呼叫了 fitpack2模組的 splev(x, tck, der=0, ext=0) 函式，這裡寫著」evaluate a b-spline or its derivatives「，所以，我們可以看到scipy lib中使用b-spline來做曲線擬合的。對於n次 b-spline來講，它是有多條二，繪製
一般需要繪製曲線的，都是cad軟體的開發工作，基本上用c/c++、opengl來實現。其實沒有必要，這裡就使用最常見的python就能夠學習相關的演算法了。python2.7之後pip變得越來越好了，常見lib都能夠處理了。對於windows上的python lib，建議參考鏈結2，不用自己編譯或者安裝exe，可使用第三方已經做好的whl包。
對於計算機而言，一切都是離散的。所以，所謂的無限連續的曲線，展示的時候，也是一段段的小的直線段連線起來的。主流的顯示螢幕解析度1920×1080，展現出來的曲線，也只是離散的點連線起來的而已。
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MATLAB 曲線擬合
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z1 np.polyfit x,y,5 用3次多項式擬合 p1 np.poly1d z1 print p1 在螢幕上列印擬合多項式 yvals p1 x 也可以使用yvals np.polyval z1,x plot1 plt.plot x,y,k.markersize 16,label origi...