最短路徑問題，通俗地說，就是尋找乙個圖（有向圖或無向圖）兩點之間的最短路徑。下面我們討論的都是帶權圖的最短路徑問題，即找出兩點之間總權值最小的路徑的權值；因此，我們可以把最短路徑理解為最小（權）路徑。
聽起來可能會有些繞口，我們不妨舉個例項。乙個人若是有急事要開車從乙個城市到另乙個城市，而我們已知地圖上所有的路徑及它們的權值（這裡的路徑權值可以理解為行駛速度、路程長度、費用等綜合值；亦即是說，權可以理解為路徑的代價），那麼我們怎麼知道從這個城市行駛到另乙個城市的最小總權值呢？
1、求圖中一點到其他所有點的最短路徑，稱為單源最短路問題，相關演算法有dijkstra、bellman-ford、spfa；
2、已知起點、終點求最短路徑，它可以轉換為1類問題，也就是說求出起點到其它所有點的最短路徑，從而求出起點到終點的最短路徑，目前來說這種方法求解效率最佳；
3、已知終點，求其他所有點到終點的最短路徑，它可以反向轉換為1類問題求解；
4、給出多對任意起點終點求最短路徑，稱為多源最短路問題，它可以轉化為若干個1類問題求解，但也有其它簡便的演算法，如floyed。
下面定義一些函式與集合，之後介紹的演算法都如其含義：
設g=(v,e)，其中v是點集，e是點對集（邊集），|v|表示v的元素個數即頂點數，ω(u,v)表示點u到點v的邊權（若兩點有邊相連）；特別地，當g是無向圖時，ω(u,v)=ω(v,u)。為了區分兩點間有邊或是無邊，一般我們會把ω(u,v)初始為特殊值如0，-1或+∞，再在輸入圖時給有邊的兩點賦值為它們的邊權。我們再設δ(i,j)表示點i到點j的最小總邊權（即從i到j，經過的最小邊權之和），對於上面的問題，我們可以這樣定義：
1、求δ(i,j)，其中i是起點，j是終點且j=1,2,..,|v|；
2、求δ(i,j)，其中i是起點，j是終點；
3、求δ(i,j)，其中i是起點，j是終點且i=1,2,..,|v|；
4、求δ(i,j)，其中i是起點，j是終點且i=1,2,..,|v|，j=1,2,..,|v|；
另外，還有一些特殊概念的定義：
1、負權邊
負權邊指的是圖中邊權為負數的邊，它對一些演算法如dijkstra的決策有影響，因此要根據實際問題選擇對應演算法。
2、負環
最短路徑問題有無解的情況，即圖中存在負環時。負環又稱負權迴路，即從乙個點u出發，存在一條路徑使得δ(u,u)<0（即走過一條路徑回到自己時經過的總邊權小於0）。
證明：因為圖存在負環，所以必定可以找到一條路徑使得δ(u,u)<0，那麼只要無限地走這個負環，它的總權值總是更優，即趨於越來越小直到-∞。因此存在負環的圖最短路徑問題無解。
特別地，對於乙個無向圖，顯然只要存在負權邊即存在負環。
了解這些概念之後，我們可以去學習一下最短路的相關演算法。
最短路 最短路徑問題
題目描述 平面上有n個點 n 100 每個點的座標均在 10000 10000之間。其中的一些點之間有連線。若有連線，則表示可從乙個點到達另乙個點，即兩點間有通路，通路的距離為兩點直線的距離。現在的任務是找出從一點到另一點之間的最短路徑。input 共有n m 3行，其中 第一行為乙個整數n。第2行...
最短路徑演算法概述
背景 前段時間應朋友所求，她兒子幼兒園的校車滿城跑，去全城不同的站點接送小孩，而每次她的接送點都需要等待，因此想自己為幼兒園校車規劃一條最省時間的接送路線 用於解決最短路徑問題的演算法被稱做 最短路徑演算法 有時被簡稱作 路徑演算法 最常用的路徑演算法有 dijkstra演算法 spfa演算法 be...
Codeup最短路徑 最短路徑問題
給你n個點，m條無向邊，每條邊都有長度d和花費p，給你起點s終點t，要求輸出起點到終點的最短距離及其花費，如果最短距離有多條路線，則輸出花費最少的。輸入n,m，點的編號是1 n,然後是m行，每行4個數 a,b,d,p，表示a和b之間有一條邊，且其長度為d，花費為p。最後一行是兩個數 s,t 起點s，...