深入淺出K Means演算法

問題

k-means演算法主要解決的問題如下圖所示。我們可以看到，在圖的左邊有一些點，我們用肉眼可以看出來有四個點群，但是我們怎麼通過電腦程式找出這幾個點群來呢？於是就出現了我們的k-means演算法（wikipedia鏈結）

k-means要解決的問題

演算法概要

這個演算法其實很簡單，如下圖所示：

從上圖中，我們可以看到，a，b，c，d，e是五個在圖中點。而灰色的點是我們的種子點，也就是我們用來找點群的點。有兩個種子點，所以k=2。

然後，k-means的演算法如下：

隨機在圖中取k（這裡k=2）個種子點。

然後對圖中的所有點求到這k個種子點的距離，假如點pi離種子點si最近，那麼pi屬於si點群。（上圖中，我們可以看到a，b屬於上面的種子點，c，d，e屬於下面中部的種子點）

接下來，我們要移動種子點到屬於他的「點群」的中心。（見圖上的第三步）

然後重複第2）和第3）步，直到，種子點沒有移動（我們可以看到圖中的第四步上面的種子點聚合了a，b，c，下面的種子點聚合了d，e）。

這個演算法很簡單，但是有些細節我要提一下，求距離的公式我不說了，大家有初中畢業水平的人都應該知道怎麼算的。我重點想說一下「求點群中心的演算法」。

求點群中心的演算法

1）minkowski distance公式——λ可以隨意取值，可以是負數，也可以是正數，或是無窮大。

2）euclidean distance公式——也就是第乙個公式λ=2的情況

3）cityblock distance公式——也就是第乙個公式λ=1的情況

這三個公式的求中心點有一些不一樣的地方，我們看下圖（對於第乙個λ在0-1之間）。

（1）minkowski distance （2）euclidean distance （3）cityblock distance

上面這幾個圖的大意是他們是怎麼個逼近中心的，第乙個圖以星形的方式，第二個圖以同心圓的方式，第三個圖以菱形的方式。

k-means的演示

操作是，滑鼠左鍵是初始化點，右鍵初始化「種子點」，然後勾選「show history」可以看到一步一步的迭代。

注：這個演示的鏈結也有乙個不錯的k means tutorial。

k-means++演算法

k-means主要有兩個最重大的缺陷——都和初始值有關：

我在這裡重點說一下k-means++演算法步驟：

先從我們的資料庫隨機挑個隨機點當「種子點」。

對於每個點，我們都計算其和最近的乙個「種子點」的距離d(x)並儲存在乙個陣列裡，然後把這些距離加起來得到sum(d(x))。

然後，再取乙個隨機值，用權重的方式來取計算下乙個「種子點」。這個演算法的實現是，先取乙個能落在sum(d(x))中的隨機值random，然後用random -= d(x)，直到其<=0，此時的點就是下乙個「種子點」。

重複第（2）和第（3）步直到所有的k個種子點都被選出來。

進行k-means演算法。

相關的**你可以在這裡找到「implement the k-means++ algorithm」（牆）另，apache的通用資料學庫也實現了這一演算法

k-means演算法應用

看到這裡，你會說，k-means演算法看來很簡單，而且好像就是在玩座標點，沒什麼真實用處。而且，這個演算法缺陷很多，還不如人工呢。是的，前面的例子只是玩二維座標點，的確沒什麼意思。但是你想一下下面的幾個問題：

1）如果不是二維的，是多維的，如5維的，那麼，就只能用計算機來計算了。

2）二維座標點的x，y 座標，其實是一種向量，是一種數學抽象。現實世界中很多屬性是可以抽象成向量的，比如，我們的年齡，我們的喜好，我們的商品，等等，能抽象成向量的目的就是可以讓計算機知道某兩個屬性間的距離。如：我們認為，18歲的人離24歲的人的距離要比離12歲的距離要近，鞋子這個商品離衣服這個商品的距離要比電腦要近，等等。

只要能把現實世界的物體的屬性抽象成向量，就可以用k-means演算法來歸類了。

在《k均值聚類(k-means)》這篇文章中舉了乙個很不錯的應用例子，作者用亞洲15支足球隊的2023年到2023年的戰績做了乙個向量表，然後用k-means把球隊歸類，得出了下面的結果，呵呵。

其實，這樣的業務例子還有很多，比如，分析乙個公司的客戶分類，這樣可以對不同的客戶使用不同的商業策略，或是電子商務中分析商品相似度，歸類商品，從而可以使用一些不同的銷售策略，等等。

最後給乙個挺好的演算法的幻燈片：

來自：coolshell

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