由攝像機的內參k計算視景體——glfrustum的引數推導
風之憂傷
建立視景體的glfrustum函式的形式為: glfrustum(left,right,bottom,top,near,far),前4個引數表示座標,可正可負,後兩個引數表示距離,為正數.大多數opengl的參考文獻都只是簡單的介紹了一下glfrustum的語法和作用,而並不詳細介紹該函式的每個引數如何確定.但是,在增強現實中,往往需要把計算出來的內引數矩陣指定給gl,而不能隨便設定.那麼怎麼把內引數矩陣轉化為glfrustum的引數,這就是下面要討論的問題.
攝像機的內引數矩陣k的形式是:
假設影象的高度和寬度分別為height和width,這裡near和far可以任意設定(比如near=100, far=10000).我們用兩種方法來推導.
(一)幾何推導
如下圖,這是視景體的近裁剪面上的頂點在像平面上的投影.
圖中長為top的線段被對映成長度為v0的線段,而長為-bottom(圖中bottom的座標值為負,加負號才表示長度)的線段被對映成長度為height-v0的線段.根據相似三角形的關係,可以直接得到:
top/v0 = near/fy;
-bottom/(height-v0) = near/fy;
於是得到引數top和bottom的計算公式:
top = v0*near/fy (1)
bottom = (v0-height)*near/fy (2)
類似地,從下圖可以很容易得到left和right:
left = -u0*near/fx (3)
right = (width-u0)*near/fx (4)
上面的(1)-(4)式就是從內引數矩陣k計算glfrustum函式的引數的公式.
(二)代數推導
現在我們從代數上來推導這四個公式,以證明其正確性.
我們知道,在計算機視覺中,內引數矩陣k將攝像機座標系下的三維點(x,y,z)投影到攝像機的像平面上成像,即:
化簡得到:
x = fx*x/z + u0;
y = fy*y/z + v0;
gl中所用的攝像機座標系與計算機視覺中使用的攝像機座標系不同,正好繞x軸旋轉了180度,即y,z兩軸反號.所以在gl中,對上式中的yz取負號,變為:
x = -fx*x/z + u0;
y = fy*y/z + v0;
對於視景體左上角的點,座標為(left, top, -near),被對映成(0,0,1),所以:
0 = -fx*left/(-near) + u0;
0 = fy*top/(-near) + v0; 即:
left = -u0*near/fx,即為(3)式;
top = v0*near/fy,即為(1)式.
對於視景體右下角的點,座標為(right, bottom, -near),被對映成(width,height,1),所以:
width = -fx*right/(-near) + u0;
height = fy*bottom/(-near) + v0; 即:
right = (width-u0)*near/fx,即為(4)式;
bottom = (v0-height)*near/fy,即為(2)式.
從上面可以看出,代數方法和幾何方法推導出來的公式都一樣.
綜上,從攝像機的內引數矩陣k計算函式glfrustum的引數的公式為:
top = v0*near/fy;
bottom = (v0-height)*near/fy;
left = -u0*near/fx;
right = (width-u0)*near/fx.
反之,如果已知視景體和影象尺寸,也可以由此公式推導出內引數矩陣k.
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