網路流基礎演算法模板

網路流是一種非常玄妙的演算法，被廣泛地用於各種有權值存在或一對多的匹配問題中。而網路流又有許多數學性質，比如最大流等於最小割等等。本篇主要介紹常用的dinic最大流演算法。

網路，就是一張有點有邊圖。其中有兩個特殊的點——源點和匯點。網路流中的每一條邊就好比一條水管，容量就好比是這個水管的粗細。我們要求的最大流，指的就是從源點開始往圖里注水，水會沿著網路流動，然後從匯點流出。因為每一條邊的容量一般都有限，而又因為網路流中每個點，流入它的的「水量」等於流出它的的「水量」，所以以這個從源點注入的水流的最大流量一定是有限的，否則這個網路是承載不了的。這個最大的流量就叫「最大流」。

再說說什麼是割。割就是堵死網路流中的一些水管，使得這個圖中的源點和匯點不再連通。水管可以被完全堵死，也可以被堵死一部分（或者你也可以把它理解為，割掉圖中的一些邊）。當然了，割掉一些邊也是要花費一定代價的。割掉一條容量為x的邊，花費的代價就為x。在所有的「割」中，花費代價最少的一種「割法」所花費的代價就叫做「最小割」。

dinic演算法被用來求最小割。首先，要說求最小割，我的第一種思路就是去從起點「阻塞」當前的殘量網路，一直阻塞到不能阻塞為止。這種方法有一定概率得到正確答案，但是由於「貪心不總是對的」，所以有的時候這種方法會「割多」。怎麼處理這種情況呢？dinic演算法利用了一種「反向邊」的思想解決了這個問題。

首先我們先明確一下邊的概念：

struct edge
};

這裡的邊都是有向邊，這個結構體表示一條從from流向to，容量為cap，當前已經被占用的流量為flow的邊。（即殘量為cap-flow，殘量大於0說明這條邊仍在網路流中。如果cap-flow=0，說明這條邊已經被完全割掉）

dinic演算法在把正向邊加入圖中的同時又向圖中加入了它的反向邊。反向邊與正向邊方向相反（即從to到from），而且反向邊的容量cap為0。每當我要在一條邊e上割掉f的流量時，我們要做兩個操作，一是把e.flow+=f，而是把e的反向邊nege的流量nege.flow-=f。為什麼要這樣呢？

因為nege為反向邊，nege.cap一定等於零，如果nege.flow=-f（f>0）。那麼nege.cap-nege.flow=f>0。這條「反邊」就會像正邊一樣被看成是殘量網路中的邊。假設我下一次又走了這條「反邊」，那麼就會讓nege.flow+=f,e.flow-=f（nege和e互為反向邊）。就相當於是撤銷了上一次對邊e的割。這就使得如果乙個割不是最優的，那麼它中的一些被割的邊一定是可被恢復的，這就彌補了貪心的不足。

假如我在這個圖中走了上圖中的紅邊，這是三條紅邊的反向邊也會被加入到圖中。

繼續沿著紅邊走，因為中間那條綠邊的反向邊被加入到了圖中，所以可以走。走完之後綠邊被還原。

而實際上，上面走的兩條紅邊的效果相當於走了這兩條藍邊（因為，中間的那條邊被還原了）。所以「還原」一條邊的實質是選擇了其他的割的方案。

當然圖裡邊也不是想怎麼走怎麼走的，水往低處流，而不流回頭路。你可以把這理解為，把這個網路流中的點分成一些層次，每次都只能從乙個層次的點走到下乙個層次的點。這個層次就是從起點走到某乙個點最少要經過的邊數（這裡的邊數指的是殘量網路中的邊數，所以每一次増廣都要重新分層）。這個分層的工作可以用乙個簡單的bfs實現。

然後我們給出這個模板：

#include
#include
#include
#include
using
namespace
std;
const
int maxn=10001,inf=0x7fffffff;
struct edge//表示一條邊
};int min(int a,int b)
bool bfs()//分層bfs }}
return vis[t];//如果匯點沒被訪問
//說明從原點到匯點之間已不存在增廣路,不可増廣
/上文中的d[i]表示從s到i最少經過的邊數
}int dfs(int x,int a)//x表示當前點,a表示當前弧上的最小殘量 
}return flow;
}int maxflow(int s,int t)
return flow;
}}dinic;

這個dfs函式是網路流的精髓,它表示我當前已經走到了結點x,當前經過的最小的乙個邊的容量為a，所能產生的最大的流量。令e為x的所有出邊，就有dfs(x,a)=∑dfs(e.to,min(m,e.cap-e.flow))，因為點x流入流量等於a，所以流出的流量和也就是∑m=a。用貪心的想法，每次在a的身上減去dfs(e.to,min(a,e.cap-e.flow))，這樣剩餘流出量就會越來越少，直到等於0就break（這是用來提速的）。如果貪心不正確，那麼它在接下來的貪心之中還會被「貪回來」。

bfs函式用來分層，返回的值是匯點t是否被訪問過。如果匯點t沒有被訪問過就說明從源點到匯點已經沒有任何一條増廣路徑了，演算法就可以終止。起點沒有前驅結點所以它的前驅路徑上的最小邊權就為正無窮，所以我們每次可以對起點進行a=+∞的dfs，然後把這些得數累加起來，直到bfs=false為止。

趕稿匆忙，如有謬誤，望同學們理解。

宣告：之前版本的dinic**有bug，望諒解，現已重新整理。——2017.8.8

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