最大子陣列

1.問題描述

問題：乙個有n個整數元素的一維陣列(a[0],a[1],a[2],…a[n-1]),這個陣列中子陣列之和的最大值是多少？

該子陣列是連續的。例如陣列：[1,-2,3,5,-3,2]返回8；陣列：[0,-2,3,5,-1,2]返回9。

網上有稱之為最大子串行和，亦有稱連續子陣列最大和。個人覺得叫最大子串行和不太妥，數學上講，子串行不一定要求連續，而這裡我們的題目必然要求是連續的，如果不連續而求子序列最大和很顯然就無意義了，這也是為啥又稱連續子陣列最大和。不過，莫要在意細節。

這題是很經典的一道面試題，也有各種解法，從演算法分析上，時間複雜度也有很大差別，下面我就給出三種不同的解法。

2.解法一：暴力列舉法

此種方法最簡單，我想應該也是每個人拿到題目想到的第一種解法了，學過一點程式設計的人都應該能編出此類程式。

記sum[i..j]為陣列中第i個元素到第j個元素的和（其中0<=i

int maxsubarray(int *a,int n)

此種方法的時間複雜度為o(n2)，顯然不是一種很好的辦法，也不是公司面試希望你寫出這樣的程式的。

3.解法二：分支界定

這裡再介紹一種更高效的演算法，時間複雜度為o(nlogn)。這是個分治的思想，解決複雜問題我們經常使用的一種思維方法——分而治之。

而對於此題，我們把陣列a[1..n]分成兩個相等大小的塊：a[1..n/2]和a[n/2+1..n]，最大的子陣列只可能出現在三種情況：

a[1..n]的最大子陣列和a[1..n/2]最大子陣列相同；

a[1..n]的最大子陣列和a[n/2+1..n]最大子陣列相同；

a[1..n]的最大子陣列跨過a[1..n/2]和a[n/2+1..n]

前兩種情況的求法和整體的求法是一樣的，因此遞迴求得。

第三種，我們可以採取的方法也比較簡單，沿著第n/2向左搜尋，直到左邊界，找到最大的和maxleft，以及沿著第n/2+1向右搜尋找到最大和maxright，那麼總的最大和就是maxleft+maxright。

而陣列a的最大子陣列和就是這三種情況中最大的乙個。

偽**如下：

int maxsubarray(int *a,int l,int r)

4.解法三：動態規劃（dp）

我們考慮最後乙個元素arr[n-1]與最大子陣列的關係，有如下三種情況：

(1)arr[n-1]單獨構成最大子陣列

(2)最大子陣列以arr[n-1]結尾

(3)最大子陣列跟arr[n-1]沒關係，最大子陣列在arr[0-n-2]範圍內，轉為考慮元素arr[n-2]

從上面我們可以看出，問題分解成了三個子問題，最大子陣列就是這三個子問題的最大值，現假設：

(1) 以arr[n-1]為結尾的最大子陣列和為end[n-1]

(2) 在[0-(n-1)]範圍內的最大子陣列和為all[n-1]

如果最大子陣列跟最後乙個元素無關，即最大和為all[n-2]（存在範圍為[0-n-2]），則解all[n-1]為三種情況的最大值，即all[n-1] = max。從後向前考慮，初始化的情況分別為arr[0]，以arr[0]結尾，即end[0] = arr[0]，最大和範圍在[0,0]之內，即all[0]=arr[0]。根據上面分析，給出狀態方程：

all[i] = max

**如下：

/* dp base version*/
#define max(a,b) ( a > b ? a : b)
int maxsum_dp(int * arr, int
size)
;    int all[30] = ;
end[0] = all[0] = arr[0];
for(int i = 1; i < size; ++i)
return all[size-1];
}

上述**在空間上是可以優化為o(1)的

/* dp base version*/
#define max(a,b) ( a > b ? a : b)
int maxsum_dp(int * arr, int
size)
return nall ;
}

/* dp ultimate version */
int maxsum_ultimate(int * arr, int size)
else
if(sum > maxsum)
}return maxsum;
}

其實上面的方法雖說是從dp推導出來的，但是寫完發現也是很直觀的方法，求最大和，那就一直累加唄，只要大於0，就說明當前的「和」可以繼續增大，如果小於0了，說明「之前的最大和」已經不可能繼續增大了，就從新開始，如此這樣。

5.問題擴充套件：返回最大子陣列始末位置

這個問題是《程式設計之美》2.14的擴充套件問題，返回始末位置還是比較容易的，我們知道，每當當前子陣列和的小於0時，便是新一輪子陣列的開始，每當更新最大和時，便對應可能的結束下標，這個時候，只要順便用本輪的起始和結束位置更新始末位置就可以，程式結束，最大子陣列和以及其始末位置便一起被記錄下來了。

c++**如下：

#include
using
namespace
std;
template
class my_data_type
;template
void my_data_type::my_type_printf(void)
template
void my_data_type::max_sub_sum_dp(t *a, int length)
else
if (sum > max_sum)
}}template
void printf_data(t *a, int length)
cout
<< endl;
}int main()
;    int a1_int[6] = ;
float a_float[6] = ;
float a1_float[5] = ;
my_data_type my_test_int;
my_test_int.max_sub_sum_dp(a_int, 6);
printf_data(a_int, 6);
my_test_int.my_type_printf();
my_test_int.max_sub_sum_dp(a1_int, 5);
printf_data(a1_int, 5);
my_test_int.my_type_printf();
my_data_type my_test_float;
my_test_float.max_sub_sum_dp(a_float, 6);
printf_data(a_float, 6);
my_test_float.my_type_printf();
my_test_float.max_sub_sum_dp(a1_float, 5);
printf_data(a1_float, 5);
my_test_float.my_type_printf();
}

測試結果：

6.問題擴充套件：允許陣列首尾相連

這個也是2.14的擴充套件問題，如果陣列arr[0],…,arr[n-1]首尾相鄰，也就是允許找到一段數字arr[i],…,arr[n-1],arr[0],…,a[j]，使其和最大，該如何？

程式設計之美解法：這個問題的解可以分為兩種情況：

1）解沒有跨越arr[n-1]到arr[0] （原問題）

2）解跨越arr[n-1]到arr[0]

對於第一種情況按照之前的方式計算即可，對於第二種情況我們可以巧妙地進行問題轉換。我們找最大子陣列的對偶問題——最小子陣列，有了最小子陣列的值，總值減去它不就可以了麼？但是我又想，這個對偶問題只能處理這種跨界的特殊情況嗎？答案是肯定的，如果最大子陣列跨界，那麼剩餘的中間那段和就一定是最小的，而且和必然是負的；相反，如果最大子陣列不跨界，那麼總值減去最小子陣列的值就不一定是最大子陣列和了，例如例子[8，-10，60，3，-1，-6]，最大子陣列為[8 | 60，3，-1，-6]，而最小子陣列和為[-10]，顯然不能用總值減去最小值。

故，在允許陣列跨界（首尾相鄰）時，最大子陣列的和為下面的最大值

maxsum=。

最大子陣列

最大子陣列

最大子陣列

最大子陣列

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