動態樹之LCT link cut tree 講解

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動態樹是一類要求維護森林的連通性的題的總稱，這類問題要求維護某個點到根的某些資料，支援樹的切分，合併，以及對子樹的某些操作。其中解決這一問題的某些簡化版（不包括對子樹的操作）的基礎資料結構就是lct(link-cut tree)。

lct的大體思想類似於樹鏈剖分中的輕重鏈剖分，輕重鏈剖分是處理出重鏈來，由於重鏈的定義和樹鏈剖分是處理靜態樹所限，重鏈不會變化，變化的只是重鏈上的邊或點的權值，由於這個性質，我們用線段樹來維護樹鏈剖分中的重鏈，但是lct解決的是動態樹問題（包含靜態樹），所以需要用更靈活的splay來維護這裡的「重鏈」

定義：首先來定義一些量：

access(x)：表示訪問x點（之後會有說明）。

preferred child（偏愛子節點）：如果最後被訪問的點在x的兒子p節點的子樹中，那麼稱p為x的preferred child，如果乙個點被訪問，他的preferred child為null(即沒有)。

preferred edge（偏愛邊）：每個點到自己的preferred child的邊被稱為preferred edge。

preferred path（偏愛路徑）：由preferred edge組成的不可延伸的路徑稱為preferred path。

這樣我們可以發現一些比較顯然的性質，每個點在且僅在一條preferred path上，也就是所有的preferred path包含了這棵樹上的所有的點，這樣一顆樹就可以由一些preferred path來表示（類似於輕重鏈剖分中的重鏈），我們用splay來維護每個條preferred path，關鍵字為深度，也就是每棵splay中的點左子樹的深度都比當前點小，右節點的深度都比當前節點

的深度大。這樣的每棵splay我們稱為auxiliary tree(輔助樹)，每個auxiliary tree的根節點儲存這個auxiliary tree與上一棵auxiliary tree中的哪個點相連。這個點稱作他的path parent。

看乙個例子

粗的邊是preferred path。那麼3-7這個auxiliary tree中，path parent為1節點，每個單獨的點單獨在一棵splay中。以上描述的幾個量可以儲存這棵樹，並且維護相應的資訊。

操作：access(x)：首先由於preferred path的定義，如果乙個點被訪問，那麼這個點到根節點的所有的邊都會變成preferred edge，由於每個點只有乙個preferred child，所以這個點到根節點路徑上的所有的點都會和原來的preferred child斷開，連線到這條新的preferred path上。假設訪問x點，那麼先將x點旋轉到對應auxiliary tree的根節點，然後因為被訪問的點是沒有preferred child的，所以將auxiliary tree中根節點(x)與右子樹的邊斷掉，左節點保留，將這個樹的path parent旋轉到對應auxiliary tree的根節點，斷掉右子樹，連線這個點與x點，相當於合併兩棵auxiliary tree，不斷地重複這一操作，直到當前x所在auxiliary tree的path parent為null時停止，表示已經完成當前操作。

procedure
access
(x:longint);
var    y                    :longint;
begin
splay(x);//旋轉
while father[x]<>0
dobegin
y:=father[x];
splay(y);
root[son[y,1]]:=true;//son為子節點son[x,0]代表左子結點，son[x,1]代表右子結點
root[x]:=false;//當前點是否為對應auxiliary tree的根節點
son[y,1]:=x;
update(y);//更新y點的資訊
splay(x);
end;
end;

find root(x)：找到某一點所在樹的根節點（維護森林時使用）。只需要access(x)，然後將x節點旋到對應auxiliary tree的根節點，然後找到這個auxiliary tree中最左面的點。

function
find
root
(x:longint)
:longint;
begin
access(x);
splay(x);//將x旋轉到根節點
exit(find(x,-maxlongint));//找到子樹中最左面的點
end;

cut(x)：斷掉x節點和其父節點相連的邊。首先access(x)，然後將x旋轉到對應auxiliary tree的根節點，然後斷掉auxiliary tree中x和左節點相連的邊。

procedure
cut(x:longint);
begin
access(x);
splay(x);//旋轉x點到根節點
father[son[x,0]]:=0;
root[son[x,0]]:=true;//設定左子樹根節點
son[x,0]:=-1;
end;

link(join)(x,y)：連線點x到y點上。即讓x稱為y的子節點。因為x為y的子節點後，在原x的子樹中，x點到根節點的所有的點的深度會被翻轉過來，所以先access(x)，然後在對應的auxiliary tree中將x旋轉到根節點，，然後將左子樹翻轉(splay中的reverse操作)，然後access(y)，將y旋轉到對應auxiliary tree中的根節點，將x連到y就行了。這裡寫**片

procedure
link
(x,y:longint);
begin
access(x);
splay(x);
reverse(son[x,0]);
access(y);
splay(y);
son[y,1]:=x;
father[x]:=y;
root[x]:=false;
end;

access操作是lct的基礎，應該熟練掌握並且理解。

時間複雜度：

證明access以及其他操作的時間複雜度是均攤log2n的，具體證明參考楊哲的**《qtree 解法的一些研究》。

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