鷹蛋問題解析之動態規劃

一幢 100 層的大樓，給你兩個雞蛋。如果在第 n 層扔下雞蛋，雞蛋不碎，那麼從第 n-1 層扔雞蛋，都不碎。這兩隻雞蛋一模一樣，不碎的話可以扔無數次。最高從哪層樓扔下時雞蛋不會碎？

1. 如果有無數個蛋

如果問題分為兩問，第一問提出如果你鷹蛋有無數個，該如何求解？這個問題比較簡單，只需要二分法就能在o（lgn）的次數內求解問題，問題的第二問是如果只有兩個鷹蛋，該如何求解，我當時的給的答案如下：

2.一種方案，把樓層等分試探求解

把樓層分為x等分，用第一鷹蛋從下往上依次試探乙個範圍，如果第乙個鷹蛋破了，則用另一鷹蛋窮舉。

假如將100層樓分為20等分，則用第乙個鷹蛋分別在第5層，第10層，第15層。。。。依次試探，假如在35層鷹蛋破碎，則用另乙個鷹蛋從31層到34層依次試探，則可以求出破蛋的臨界點。

上面的方法的最壞情況是鷹蛋的臨界點在n-1層（n代表總樓層數），也就是倒數第二層。因為這時候第乙個蛋把所有的等分樓層都嘗試了一遍，而且第二個蛋也要把乙個等分內部的樓層全部嘗試一遍。

假設把總樓層分成了x等份，每個等分內部有n/x個樓層。

在最壞情況下，第乙個蛋需要試探x次，第二蛋則要試探n/x - 1次（即在每個等份內做窮舉），所以最壞情況需要的總次數為x + (n/x) -1。

要獲取最壞情況的最小值，需要對總次數x + (n/x) -1求導數，並取0值，即：

(x + (n/x) -1)'(求導)=1-

(n/x2)

=0求解，可以得到x = sqrt(n)。

在樓層=100的情況下，可以求出使總次數最小的x=10，也就是說如果採用等份的辦法，在樓層總數是100時，10等份是最優情況。

3.最終答案：動態規劃

鷹蛋問題的最優解，可以通過動態規劃的辦法來實現，假設有m樓層，n個鷹蛋，則在第i層試探時會出現兩種狀態，一種狀態是鷹蛋摔破了，則我們下一步只有n-1個鷹蛋，同時總樓層數也縮減為i-1，另一種狀態是鷹蛋沒有摔破，那麼鷹蛋總數不變，還是n個，樓層數則縮減為m-i層。

這樣乙個問題就被分解為兩個規模更小的子問題，通過遞迴的方式求解，遞迴在以下3個狀態結束：1）如果鷹蛋只剩1個，那麼只能對所有的樓層進行窮舉；2）如果樓層是0，則需要試探0次； 3）如果樓層是1，則需要只需要試探1次。

動態規劃的狀態轉移方程如下：

f(m,n)= min};(0 < i < m)

通過方程可以看出，再遞迴的過程中會重複的解子問題，通過array[m][n]來儲存子問題的結果，提高效率，**如下：

[cpp]view plain

copy

const

intnfloor = 100;

const

intnegg = 2;

#define max(a, b) (a) > (b) ? (a) : (b)

intarr[nfloor][negg];

inttest_egg(

intnfloors,

intneggs)

arr[nfloors-1][neggs-1] = min;

return

min;

} int

main(

intargc, _tchar* argv)