讀者可能會有這樣的感受，如果樣本空間
c 中的元素不是數的話，描述起來非常麻煩，現在我們就形式化乙個規則或者一組規則，根據這些規則，
c 中的元素
c 可以用數來表示。首先討論最簡單的情況，考慮擲硬幣的隨機試驗，樣本空間是c=
，t,h
分別表示尾與頭。
x 是乙個函式，如果c是
t ，那麼x(
c)=0
，如果c
是h，那麼x(c
)=1 ，因此
x 是定義在樣本空間
c上的實值函式，這就讓我們從樣本空間
c 變換到了實數d=
空間，現在我們形式化隨機變數與其空間的定義。定義
1：考慮樣本空間為
c 的隨機試驗，函式
x 給每個元素c∈
c只分配乙個數x(
c)=x
，我們稱其為隨機變數，
x 的空間或者值域是實數d=
的集合。
在我們的討論中，
d 一般是可數集合或者乙個實數區間，我們稱第一種型別的隨機變數為離散隨機變數，第二種稱為連續隨機變數。本篇先討論離散與連續隨機變數的例子，然後再分別詳細討論他們。
隨機變數
x 誘導出實數軸
r上的新樣本空間
d ，那麼與事件
b 和概率
p 相似的又是什麼呢？考慮x
是乙個離散隨機變數，且有乙個有限的空間d=
，這時候有
m 個事件由： ,i
=1,…
,m給定，因此，對於隨機變數，
d 上的
σ 域是由簡單事件d1
,…,d
m (
d 的集(所有子集集合)生成的，令
f 表示這個
σ 域。
從而我們有了乙個樣本空間與乙個事件集，那麼概率集合函式呢？對於
f 中的任何事件
b ，我們定義 px
(b)=
p(1)
我們需要說明px
滿足概率的三公理。
注意，首先px
(b)>
0 ，其次，因為
x 的定義域是
c，所以我們有px
(d)=
p(c)
=1，因此px
滿足概率的前兩個公理，對第三個公理得證明留給讀者。由此可知px
是d上的概率，我們稱px
是隨機變數
x 在
d上匯出的概率。
我們現在簡化上面的討論，因為
f 中的任何事件
b 是d=
的乙個子集，px
滿足 px
(b)=
∑di∈
bp因此，px
完全由函式 px
(di)
=px[
],fo
ri=1
,…,m
(2) 函式p
x(di
) 稱為
x 的概率質量函式，簡寫為pm
f，下面先給出一段批註，然後考慮乙個例項。注1
： 在等式1與2中，根據px
,px 中的下標
x 可以看出他們是隨機變數匯出的概率集合函式與pmf，我們會經常使用這種符號，尤其是討論多個變數的時候。另一方面，如果隨機變數很明顯，那麼我們就省略不寫。例1
：現在擲兩次骰子，令
x 表示兩次得到的數字之和，樣本空間是c=
，因為骰子每面朝上的概率是相等的，所以p[
(i,j
)]=1
/36，隨機變數
x 是x(
i,j)
=i+j
，x的空間是d=
2,…,
12，x 的pmf為
c上的概率空間的
σ 域由23
6 個子集組成，(
c 中元素子集的個數)但是我們感興趣的是隨機變數
x ，只有11個我們感興趣的事件；即事件x=
k,k=
2,…,
12。為了說明關於
x 的概率計算，假設b1
=,b2
=，那麼 px
(b1)
px(b
2)=∑
x∈b1
px(x
)=636
+236=
836=∑
x∈b2
px(x
)=136
+236+
136=4
36 其中p
x(x)
如表中所示。
對於連續隨機變數，考慮下面簡單的試驗：在區間(0
,1) 上隨機選擇乙個實數，令
x 表示選擇的數，此時
x的空間是d=
(0,1
) ，這不像上面的例子那樣可以容易的匯出px
的概率，但是有一些直觀上的概率，例如，因為數是隨機選擇的，所以我們感覺 px
[(a,
b)]=
b−a,
for0
<
a<
b<1
的分配方式比較合理。
對於連續隨機變數
x ，我們想要
x的概率模型是由區間概率確定的，因此我們取
r 上事件的類別為博萊爾σ域
b0，它是由區間匯出的。注意它也包含了離散隨機變數。例如，事件di
可以用取得的交來表示；例如=∩
n(di
−(1/
n),d
i]。定義2
： 令
x 是隨機變數，那麼它的累加分布函式，(c
df)定義為 fx
(x)=
px((
−∞,x
])=p
(x≤x
)(3) 注
2：回顧一下，
p 是樣本空間
c上的概率，所以等式3中右邊的項需要定義，我們定義為 p(
x≤x)
=p()
這是比較方便的縮寫形式，我們會經常使用這種寫法。
另外，fx(
x)經常稱為分布函式(d
f)，然而，我們加上累加，以此來說明fx
(x) 累加了小於等於
x 的概率。
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