第十一章 方差分析
為了使生產過程穩定，達到優質、高產，需要對影響產品質量的因素進行分析，找出有顯著影響的那些因素，除了從機理方面進行研究外，常常要作許多試驗，對結果作分析、比較，尋求規律。用數理統計分析試驗結果、鑑別各因素對結果影響程度的方法稱為方差分析（analysis of variance），記作 anova。
人們關心的試驗結果稱為 指標，試驗中需要考察、可以控制的條件稱為 因素或因子，因素所處的狀態稱為 水平。上面提到的燈泡壽命問題是單因素試驗，小麥產量問題是雙因素試驗。處理這些試驗結果的統計方法就稱為單因素方差分析和雙因素方差分析。
§1 單因素方差分析
只考慮乙個因素 a 對所關心的指標的影響， a 取幾個水平，在每個水平上作若干個試驗，試驗過程中除 a 外其它影響指標的因素都保持不變（只有隨機因素存在），我們的任務是從試驗結果推斷，因素 a 對指標有無顯著影響，即當 a 取不同水平時指標有無顯著差別。
a 取某個水平下的指標視為隨機變數，判斷 a 取不同水平時指標有無顯著差別，相當於檢驗若干總體的均值是否相等。
§2 雙因素方差分析
如果要考慮兩個因素 b a, 對指標的影響， b a, 各劃分幾個水平，對每乙個水平組
合作若干次試驗，對所得資料進行方差分析，檢驗兩因素是否分別對指標有顯著影響，
或者還要進一步檢驗兩因素是否對指標有顯著的互動影響。
§3 正交試驗設計與方差分析
由於因素較少時，我們可以對不同因素的所有可能的水平組合做試驗，這叫做全面試驗。當因素較多時，雖然理論上仍可採用前面的方法進行全面試驗後再做相應的方差分析，但是在實際中有時會遇到試驗次數太多的問題。如果考慮更多的因素及水平，則全面試驗的次數可能會大得驚人。因此在實際應用中，對於多因素做全面試驗是不現實的。於是我們考慮是否可以選擇其中一部分組合進行試驗，這就要用到試驗設計方法選擇合理的試驗方案，使得試驗次數不多，但也能得到比較滿意的結果。
第十二章 回歸分析
曲線擬合問題的特點是，根據得到的若干有關變數的一組資料，尋找因變數與（乙個或幾個）自變數之間的乙個函式，使這個函式對那組資料擬合得最好。通常，函式的形式可以由經驗、先驗知識或對資料的直觀觀察決定，要作的工作是由資料用最小二乘法計算函式中的待定係數。從計算的角度看，問題似乎已經完全解決了，還有進一步研究的必要嗎?
從數理統計的觀點看，這裡涉及的都是隨機變數，我們根據乙個樣本計算出的那些係數，只是它們的乙個（點）估計，應該對它們作區間估計或假設檢驗，如果置信區間太大，甚至包含了零點，那麼係數的估計值是沒有多大意義的。另外也可以用方差分析方法對模型的誤差進行分析，對擬合的優劣給出評價。簡單地說，回歸分析就是對擬合問題作的統計分析。
具體地說，回歸分析在一組資料的基礎上研究這樣幾個問題：
（i）建立因變數 y 與自變數 x1,x2,……，xm之間的回歸模型（經驗公式）；
（ii）對回歸模型的可信度進行檢驗；
（iii）判斷每個自變數xi=(i=1,2,……，m)對 y 的影響是否顯著；
（iv）診斷回歸模型是否適合這組資料；
（v）利用回歸模型對 y 進行預報或控制。
第十三章 微分方程建模
微分方程建模是數學建模的重要方法，因為許多實際問題的數學描述將導致求解微分方程的定解問題。把形形色色的實際問題化成微分方程的定解問題，大體上可以按以
下幾步：
1. 根據實際要求確定要研究的量(自變數、未知函式、必要的引數等)並確定座標系。
2. 找出這些量所滿足的基本規律(物理的、幾何的、化學的或生物學的等等)。
3. 運用這些規律列出方程和定解條件。
列方程常見的方法有：
（i）按規律直接列方程
在數學、力學、物理、化學等學科中許多自然現象所滿足的規律已為人們所熟悉，並直接由微分方程所描述。如牛頓第二定律、放射性物質的放射性規律等。我們常利用這些規律對某些實際問題列出微分方程。
（ii）微元分析法與任意區域上取積分的方法
自然界中也有許多現象所滿足的規律是通過變數的微元之間的關係式來表達的。對於這類問題，我們不能直接列出自變數和未知函式及其變化率之間的關係式，而是通過微元分析法，利用已知的規律建立一些變數（自變數與未知函式）的微元之間的關係式，然後再通過取極限的方法得到微分方程，或等價地通過任意區域上取積分的方法來建立微分方程。
（iii）模擬近似法
在生物、經濟等學科中，許多現象所滿足的規律並不很清楚而且相當複雜，因而需要根據實際資料或大量的實驗資料，提出各種假設。在一定的假設下，給出實際現象所滿足的規律，然後利用適當的數學方法列出微分方程。在實際的微分方程建模過程中，也往往是上述方法的綜合應用。不論應用哪種方法，通常要根據實際情況，作出一定的假設與簡化，並要把模型的理論或計算結果與實際情況進行對照驗證，以修改模型使之更準確地描述實際問題並進而達到**預報的目的。
第十四章 穩定狀態模型
雖然動態過程的變化規律一般要用微分方程建立的動態模型來描述，但是對於某些實際問題，建模的主要目的並不是要尋求動態過程每個瞬時的性態，而是研究某種意義下穩定狀態的特徵，特別是當時間充分長以後動態過程的變化趨勢。譬如在什麼情況下描述過程的變數會越來越接近某些確定的數值，在什麼情況下又會越來越遠離這些數值而導致過程不穩定。為了分析這種穩定與不穩定的規律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程穩定性理論，直接研究平衡狀態的穩定性就行了。
第十五章 常微分方程的解法
建立微分方程只是解決問題的第一步，通常需要求出方程的解來說明實際現象，並加以檢驗。如果能得到解析形式的解固然是便於分析和應用的，但是我們知道，只有線性常係數微分方程，並且自由項是某些特殊型別的函式時，才可以肯定得到這樣的解，而絕大多數變係數方程、非線性方程都是所謂「解不出來」的，即使看起來非常簡單的方程，於是對於用微分方程解決實際問題來說，數值解法就是乙個十分重要的手段。
尤拉（euler）方法、龍格—庫塔（runge—kutta）方法、線性多步法、一階微分方程組與高階微分方程的數值解法
第十六章 差分方程模型
特別性質（平衡性、穩定性、漸近性、振動性、週期性等）
只要牽涉到關於變數的規律、性質，就可以適當地用差分方程模型來表現與分析求解。
第十七章 馬氏鏈模型
馬爾可夫鏈的定義
現實世界中有很多這樣的現象：某一系統在已知現在情況的條件下，系統未來時刻的情況只與現在有關，而與過去的歷史無直接關係。比如，研究乙個商店的累計銷售額，如果現在時刻的累計銷售額已知，則未來某一時刻的累計銷售額與現在時刻以前的任一時刻累計銷售額無關。上節中的幾個例子也均屬此類。描述這類隨機現象的數學模型稱為馬氏模型。
第十八章 動態優化模型
動態過程的另一類問題是所謂的動態優化問題，這類問題一般要歸結為求最優控制函式使某個泛函達到極值。當控制函式可以事先確定為某種特殊的函式形式時，問題又簡化為求普通函式的極值。求解泛函極值問題的方法主要有變分法和最優控制理論方法。
變分法是研究泛函極值問題的一種經典數學方法，有著廣泛的應用。下面先介紹變分法的基本概念和基本結果，然後介紹動態系統最優控制問題求解的必要條件和最大值原理。
第十九章 神經網路模型
40 多種神經網路模型，其中比較著名的有感知機，hopfield 網路，boltzman 機，自適應共振理論及反向傳播網路（bp）等。
人工神經網路（artificial neural network，以下簡稱 nn）有三個基本要素：
（i）一組連線（對應於生物神經元的突觸），連線強度由各連線上的權值表示，權值為正表示啟用，為負表示抑制。
（ii）乙個求和單元，用於求取各輸入訊號的加權和（線性組合）。
（iii）乙個非線性啟用函式，起非線性對映作用並將神經元輸出幅度限制在一定範圍內（一般限制在 （0,1） 或（-1,1） 之間）。
網路結構及工作方式
除單元特性外，網路的拓撲結構也是 nn 的乙個重要特性。從連線方式看 nn 主要有兩種。
（i）前饋型網路
各神經元接受前一層的輸入，並輸出給下一層，沒有反饋。結點分為兩類，即輸入單元和計算單元，每一計算單元可有任意個輸入，但只有乙個輸出（它可耦合到任意多個其它結點作為其輸入）。通常前饋網路可分為不同的層，第 i 層的輸入只與第 1 − i 層輸出相連，輸入和輸出結點與外界相連，而其它中間層則稱為隱層。
（ii）反饋型網路
所有結點都是計算單元，同時也可接受輸入，並向外界輸出。
nn 的工作過程主要分為兩個階段：第乙個階段是學習期，此時各計算單元狀態不變，各連線上的權值可通過學習來修改；第二階段是工作期，此時各連線權固定，計算單元狀態變化，以達到某種穩定狀態。
從作用效果看，前饋網路主要是函式對映，可用於模式識別和函式逼近。反饋網路按對能量函式的極小點的利用來分類有兩種：第一類是能量函式的所有極小點都起作用，這一類主要用作各種聯想儲存器；第二類只利用全域性極小點，它主要用於求解最優化問題。
第二十章 偏微分方程的數值解（2023年美賽b題、2023年美賽b題涉及泊松分布）
自然科學與工程技術中種種運動發展過程與平衡現象各自遵守一定的規律。這些規律的定量表述一般地呈現為關於含有未知函式及其導數的方程。我們將只含有未知多元函式及其偏導數的方程，稱之為偏微分方程。方程中出現的未知函式偏導數的最高端數稱為偏微分方程的階。如果方程中對於未知函式和它的所有偏導數都是線性的，這樣的方程稱為線性偏微分方程，否則稱它為非線性偏微分方程。初始條件和邊界條件稱為定解條件，未附加定解條件的偏微分方程稱為泛定方程。對於乙個具體的問題，定解條件與泛定方程總是同時提出。定解條件與泛定方程作為乙個整體，稱為定解問題。
各種物理性質的定常（即不隨時間變化）過程，都可用橢圓型方程來描述。其最典型、最簡單的形式是泊松(poisson)方程
數學建模演算法
logistic模型 主成分分析法 k均值貝葉斯判別法 灰色 經典灰色演算法 遺傳演算法 神經網路 模擬退火演算法 粒子群演算法 乙個變數，根據較少資料，算出期望和方差，根據正態分佈的熵可以用大量資料畫圖表示。用於確定性的描述。求確定度，進行 並畫圖直觀表示。定性變數的概率分析。用於因變數只有0 1...
數學建模演算法
1.層次分析法 2.模糊綜合評價 3.熵值法 4.topsis法 5.資料報絡分析 6.秩和比法 7.灰色關聯分析 1.窮舉法 2.貪心演算法 3.爬山法 4.模擬退火演算法 5.遺傳演算法 6.蟻群演算法 7.線性規劃，非線性規劃，動態規劃 8.梯度下降法 9.禁忌搜尋 10.牛頓迭代法 11.人...
數學建模 總結 2018 2
2018 11 8補 建議想做大資料以及視覺化的可以從kaggle入門 前兩天美賽結束，打完算是最後一次建模 感覺蠻神奇的，兩次校賽一次國賽兩次美賽，一開始也沒想到會做這麼久。稍微總結一下寫一下自己的感受 其實也並沒有很好的成績2333 如果不是拿過一堆參賽獎早就功成身退了也不會參加那麼多比賽 算不...