forms;chas.classes;maxwell equations;yang-mills equations。
在座的大概很少人知道什麼是yang-mills equations，這是近代物理上乙個非常基本的概念。我剛才已經講了向量叢。所以底下要講什麼是聯絡(connections)。這是乙個非常基本的概念。這個觀念非常簡單，假設我們有這樣的乙個向量叢，要討論乙個section，s是乙個section，section者就是剛才所說的x到e的對映，使得πｏs=identity。整個圖就是說一大簇纖維的乙個截面。這個在數學上、物理上是非常基本的觀念。比方說，向量場(vector field)是乙個section，張量場(tensor field)是乙個section。現在我們的問題說，既然有這section（section就是我剛才所說的函式的推廣），要用微積分的話，第一樣要會微分，怎麼樣式微分？因此要研究section，第一樣要怎樣微分，這個不簡單，因為我們的空間只是個區域性積，只是在區域性u_α的鄰域上，e這空間有座標(x,y)，這時我們把這y座標叫做y_α，因為這個座標與u_α的選擇有關。現在我們知道y_α是x的函式，這與鄰域的選擇有關。如果換個鄰域u_β，在這上頭的點，又有另外的座標(x,y_β)，x是同一點，在u_α和u_β相交的地方。把這同一點x看成u_α的點話，它的fiber有y_α的座標。換成u_β的點，又有y_β座標。這兩組座標之間有乙個關係。這向量叢我們假定這關係是線性的。所以這座標用分量寫下來的話，叫做y^i_α跟y^j_β，y^i_α和y^j_β之間有乙個線性關係y^i_α(x)=∑g^i_j,αβ(x)y^j_β(x)，g這個線性關係可以是x的函式。諸位要是對力學有經驗的話，比方說，向量場（vector field），它的分量變換是線性的，它的係數就是係數變換的jacobian。假使是乙個張量的話，它的係數的變換是的乙個tensor product。現在把i、j去掉，寫成y_α(x)=g_αβ(x)y_β(x)，這樣是說，y_α,y_α是代表乙個矩陣，g_αβ是乙個q階方陣，這些矩陣的元素都是x的函式。你看了這個方程式就知道微分不簡單了，我把y_α微分成dy_α，但利用這個式子，dy_α又等於g_αβdy_β加上dg_αβy_β。如果定義這個微分，就拿y的分量來定義微分的話，這個微分沒有你所需要的性質。換句話說，這個微分與鄰域的選擇有關，不是完全確定的。換了鄰域的話，多了挺麻煩的一項，所以定微分發生困難，因此我們就要引進乙個所謂絕對微分（absolute differentiation or covariant differentiation）。
covariant differentiation現在大家叫做連絡（connection）。connection就是能微分乙個section，能夠求函式的微分。換句話說，假使有乙個section的話，我要求它的微分，它是乙個微分式，而它的值是個section，對於這樣的乙個微分，我們需要它有什麼條件？其實很簡單，有兩個條件：
（1）d(s_1+s_2)=ds_1+ds_2
（因為纖維是個向量空間（vector space），所以向量空間兩點可以相加。）
（2）d(fs)=fds+df(×)s
假使有乙個section，f是乙個函式，f:x->r or c。如果把section用函式一乘的話仍舊是個section，向量空間上一點，拿數目一乘是另外一點。現在要問，假使乙個section被函式一乘的話，應該合於什麼性質？當然啦！我們要它的導數（derivation）。換句話說，我們要這個東西等於fds，應為f是乙個函式，函式的微分已經有意義了，所以加上df(×)s，(×)是tensor product。所以乙個連絡就是乙個section的微分，適合這兩個最簡單的條件。很容易證明連絡一定存在，並且不止乙個。最要緊，最簡單的乙個連絡的例子就是levi-civita平行性。你要唸黎曼幾何的話，這是乙個基本的觀念。
曲率（curvature）就是說，connection既然很多，有乙個connection跟另外乙個connection不一樣，那麼怎樣描述它不一樣的地方，怎樣描寫它不同的區域性性質？因為纖維是乙個q維的向量空間，要描寫向量空間最好在每乙個向量空間裡頭取乙個基底（basis）。所以我現在要取乙個基底叫s_i,1<=i<=q。因此我們可以把ds_i表成∑[j]w^j_i(×)s_j,1<=i,j<=q,是s_j的平直組合。因為d是個微分，所以這是個平直組合，它的係數是一次微分式。所以我們就有乙個方陣w=(w^j_i)，這是乙個q*q的方陣，它的每乙個元素都是一次微分式（linear differential form）。諸位如果念過黎曼幾何的話，可以把w^j_i寫成γ^j_ikdx^k，就可以看出它的係數在黎曼空間的特別情形，就是所謂的christoffel symbols。不過我們討論的情形比黎曼幾何的情形要廣的多了，因為黎曼幾何的情形，它的纖維是切空間，現在是任意的空間。這情形是一樣的，所以這個就是christoffel symbols的推廣。這個方程我把它寫為ds=ws，意思就是說s代表乙個1*q的矩陣， w是q*q的矩陣。w中的元素都是一次微分式，與基底的選擇有關。
從尤拉示性類到morse理論
從gauss-bonnet定理內外蘊證明到陳類
摘要：高斯-博內定理是聯絡流形的區域性幾何性質和整體的拓撲特徵的重要定理。allendoefer和weil運用區域性嵌入的方法（即外蘊方法）證明了對一般的閉的黎曼流形成立的推廣的高斯-博內定理。隨後陳省身給出了推廣的高斯-博內定理的內蘊證明。開創了大範圍內蘊幾何的新篇章。他運用活動標架方法描寫聯絡和曲率，把所有的因素都放在標架叢來考慮，並運用切球叢上的內蘊地聯絡著底流形的微分形式，把對於底流形上的微分形式的積分轉化到切球叢上的。這種內蘊證明的方法對微分幾何的發展產生了深遠的影響。陳省身隨後又由此發現了復纖維叢上的拓撲不變數——陳類，它是一種重要的示性類，因為在復纖維叢上考慮的示性模擬其它的示性模擬其它的示性類更簡潔，而且其它的示性類（比如pontrjagin類）也可由陳類更簡單的表示出來。本文簡要介紹了allendoefer和weil關於高斯-博內定理的外蘊證明（區域性嵌入方法），總結和解釋了陳省身的內蘊證明方法，並介紹陳類這一重要理論的出現。高斯-博內定理的內蘊證明是十分簡潔而漂亮的，本文分析了內蘊證明對微分幾何所產生的重要影響，以及運用切球叢方法的重要意義。
數學工作
高斯-博內公式是19世紀幾何學中曲面幾何的乙個偉大成就。它把曲率（幾何）與尤拉數（拓撲）聯絡起來。
∫_mkda+∫_dmk_gds=2πχ(m)，
其高維推廣由allendoefer-weil在2023年給出，但他們的證明是外在的並且非常複雜。乙個內蘊的證明是需要的。
陳省身第乙個基礎性工作是他在2023年關於高斯-博內公式的內蘊證明。
正如霍普夫所言,陳省身的內蘊證明開創了微分幾何的乙個嶄新時代。
∫_mpf(ω)=(2π)^nχ(m)
陳省身引入作為復向量叢示性類的陳類。其中他使用了阻礙（obstruction）理論，schubert微積分和向量叢上的曲率形式。陳類在代數幾何中是基本的。
c(v)=c_0(v)+c_1(v)+c_2(v)+…
大概在同時期，龐特里亞金引入實叢的龐特里亞金類，後來證明它們可以由陳類通過復化得到。
p_k(e)=p_k(e,z)=(-1)^kc_(2k)(e(×)c)∈h^(4k)(m,z)
陳省身奠定了復流形上埃爾公尺特幾何的基礎。他引入陳聯絡的概念並用它的曲率形式來定義陳類。
陳聯絡定義為：
1保度量g，▽g=0
2保復結構j
3the torsion is pure in its indices
陳省身的通過曲率形式對陳類的明確表示是極其重要的。它提供了更多的資訊且在使用這些示性類時比拓撲學家更具優勢，它建立了分析與拓撲之間的乙個橋梁，例如，丘成桐解決卡拉比猜想就是這方面乙個很好的例子。
det(itω/(2π)+i)=∑[k]c_k(v)t^k
悼念陳省身先生
聽到陳省身先生逝世的訊息，是昨天夜裡。陳先生這一生，實在是足矣。中國的數學巨擘 世界的數學巨擘 沃爾夫獎的獲得者 一直到93的高齡，一直到生命的最後一天，他還在數學的叢林中披荊斬棘 足矣，足矣。我不禁想起乙個月前，唉 似乎就是昨天啊，秋天的南京還殘留著些許暑氣。那是乙個週三下午，我在報告廳裡等候著他...
王選院士談院士增選 院士未必總是學術權威
王選院士談院士增選 院士未必總是學術權威 在車水馬龍的北京海淀成府路，方正大廈，記者就院士增選問題採訪了王選院士。記者注意到王選穿的是白襯衣和布鞋，傳記 王選的世界 裡寫著 從小學到高中，他穿得最多的是白襯衣和布鞋。他喜歡白襯衣的潔淨和單純，喜歡布鞋的隨意和舒適 看來，這個習慣王選一直保持到現在。記...
陳省身文集48 從NP of Math談起
原載 數學傳播 第23卷第2期，1999年。讀 傳播 第21卷第4期黃文璋先生的大文，油然而感。簡述於下，供大家一笑。1.為什麼數學沒有np 理由很簡單 np獎勵對人類幸福有貢獻的人 所以它包括和平 醫學和文學。設獎者 遠矚，知道物理，化學將大有發展，是乙個了不得的先見。初獎在1901年。第乙個得物...