貝塞爾曲線
當貝塞爾曲線的控制點為三維座標時，即可得到空間貝塞爾曲線。
空間空間貝塞爾曲線任然滿足性質：
1、n 階貝塞爾曲線的控制函式 bi
,n(t
) 的一階和二階微分滿足：b′
i,n(
t)=(
i−nt
)t(1
−t)b
i,n(
t) b
′′i,n
(t)=
(i(i
−1)−
2i(n
−1)t
+n(n
−1)t
2t2(
1−t)
2)bi
,n(t
) b′
i,n(
t)=n
(bi−
1,n−
1(t)
−bi,
n−1(
t))
2、n 階貝塞爾曲線的的一階微分是：b′
(t)=
∑i=0
n−1b
(1)i
bi,n
−1(t
) 其中：b(1
)i=n
(bi+
1−bi
) 3、n 階貝塞爾曲線的的
r 階微分是：b(
r)(t
)=∑i
=0n−
rb(r
)ibi
,n−r
(t)其中：b(
r)i=
(n−r
+1)∑
rj=1
(−1)
r−jr
jbi+
j 任意多項式曲線都可以表示成貝塞爾曲線的形式
多項式表達： a0
+a1t
+⋯+a
ntn
貝塞爾曲線的形式： ∑i
=0nb
in!(
n−i)
!i!(
1−t)
n−it
i=p0
+p1t
+⋯+p
ntn
兩式相等，即可解出多項式對應的貝塞爾曲線的控制點的座標。
控制點為 bo
,⋯,b
n 的任意時間間隔 [t
min,
tmax
] 的貝塞爾曲線定義為：b(
t)=∑
i=0n
bibi
,n(t
−tmi
ntma
x−tm
in)
其中： bi
,n為n階貝塞爾曲線的基本控制函式 b(
t)=∑
ni=0
bibi
,nt∈
[0,1
] 稱為貝塞爾曲線的標準形式令 i
=[a,
b] p
(t) 為分段貝塞爾曲線 ⟺
如果存在 t0
<
⋯−1滿足 a=
t0,b
=tr ;任意間隔貝塞爾曲線 bj
(t)t
∈[tj
,tj+
1](j
=0,1
,⋯,r
−1) 滿足
(1) p(
t)=b
j(t)
,t∈(
tj,t
j+1)
,(2) p(
tj)=
bj−1
(tj)
或/和p
(tj)
=bj(
tj)(
j=0,
1,⋯,
r−1)
, (3) p(
t0)=
b0(t
0)且p
(tr)
=br−
1(tr
) 。tj
稱為斷點。若 bj
(t) 的最高端數為n，則稱分段貝塞爾曲線的階數為n。
若分段貝塞爾曲線的兩段在連線處的k階導數連續，稱其為幾何連續。
控制點為 bo
,⋯,b
n 的n階有理貝塞爾曲線定義為：b(
t)=∑
ni=0
ωibi
bi,n
(t)∑
ni=0
ωibi
,n(t
),t∈
[0.1]
ωi不全為零，若 ωi
=0，可直接約去，
貝塞爾曲線
1.概述 貝塞爾曲線 b zier curve 又稱 貝茲曲線或貝濟埃曲線，是應用於二維圖形應用程式的數學曲線。一般的向量圖形 軟體通過它來精確畫出曲線，貝茲曲線由 線段與節點組成，節點是可拖動的支點，線段像可伸縮的皮筋，我們在繪圖工具上看到的鋼筆工具就是來做這種向量曲線的。貝塞爾曲線是計算機圖形學...
貝塞爾曲線
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