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下面介紹求解遞迴式的三種方法，以下方法參考《演算法導論》，來自網路。演算法設計經常用到遞迴，而遞迴式是比較好寫的，也是容易反應演算法的設計思路的，我們分析含遞迴演算法的時間複雜度就要求解遞迴式。
一種求解大部分遞迴式的公式。簡潔實用，有興趣的同學可以自己去看演算法導論上的證明，這裡只列舉結論。
給出遞迴式: t(n) = a * t(n/b) + f(n) ，其中a>=1，b>1，f(n)是給定的函式，t(n)是定義在非負整數上的遞迴式。
這種方法要記憶三種情況，
將餘項f(n)與函式
這裡要注意主方法不能求解的地方，所有的大於和小於都是多項式意義上的大於和小於，對於有些遞迴式夾在三種情況的間隙中，是無法用主方法來求解的。下面解釋一下什麼是多項式意義上的小於和大於：
f(x)多項式大於g(x):存在實數e>0,使得f(x)>g(x)*n^e
f(x)多項式小於g(x):存在實數e>0,使得f(x)
舉個例子，有遞迴式t(n) = 2t(n/2)+nlgn,
用主方法求解不了的遞迴式，我們可以用遞迴樹來猜測解的上界，然後用代入法來證明解的正確性。遞迴樹的求解精確度取決於你畫遞迴樹的精確度。
舉例，畫出它的遞迴樹，
這裡我們把遞迴樹擴充套件到t(1)的層，然後以t(1)為單位把每層的代價求和，最後就是總的代價，需要注意的是，這裡需要一定的數學知識。
比如我們求解，遞迴式t(n) = 2t(n/2)+n，我們猜測解是o(nlgn),我們要尋找到乙個常數c,使得t(n)<=cnlgn
即t(n) <= 2c(n/2)lg(n/2)+n <= cnlgn-cnlg2+n = cnlgn-cn+n
只要c>=1,t(n)<=cnlgn,所以我們的猜測是正確的。
要注意的是，代入法全憑經驗，通常用遞迴樹來確定上界，然後用代入法再證明。
遞迴式的漸進界求解 《演算法導論》
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三種方法 2020 11 23
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