埃及分數式

金字塔的故鄉埃及也是數學的發源地之一，古埃及數系中，記數常採用分子為1的分數，稱為「埃及分數」；

人們研究較多且頗感興趣的問題是：

把給定整數或分數分解為埃及分數之和，分解與優化往往是乙個煩瑣艱辛的過程；

例如對5/121，可以分解為：

為了盡可能減少分解項數，2023年數學家布雷策在《數學遊覽》中給出了以下優化的三項分解式：

同時布雷策證明了：5/121不可能分解為兩個埃及分數之和；

從項數來說，上述三項分解式不可能再優化了，但對最大分母來說，布雷策的分解式並不是最優的，我國兩位青年數學愛好者於2023年發現：

這4個分解式都比布雷策的結論要優，按通常約定分解式中不得包含與待分解分數同分母的埃及分數，顯然應把第3個分解式排除在外，因此，現在所知把5/121分解為3個埃及分數的最小分母為1089；

那麼，分解5/121為3個埃及分數之和，其最大分母能否小於1089呢？我們可以通過程式設計來探索；

1.說明：

設指定的分數m/d的3個埃及分數的分母分別為a、b、c（a< b< c），最大分母不超過z，通過二重迴圈實施列舉；

確定a迴圈的起始值a1與終止值a2為：

b迴圈起始取a+1，終止取z-1；

對於a、b二重迴圈的每一組a、b，由1/c=m/d-（1/a+1/b）即可確定：

計算x=abd，y=mab-d（a+b）；

如果y>0且y整除x，即得整數c，此時如果c>b且c！=d，即得分解為3個埃及分數的分數式，列印輸出後退出內迴圈，繼續尋找；

2.程式設計：

#includeint main()
if(e==1 && c<=z && c>b && c!=d)
}printf("共上述%d個分數式\n",n);
}

3.程式執行示例及其注意事項：

確定分數m/d，請輸入m,d:5,121 請確定分母的上限:1100 把分數5/121分解為三個埃及分數之和: no1:5/121=1/27+1/297+1/1089 no2:5/121=1/33+1/99+1/1089 no3:5/121=1/45+1/55+1/1089

共上述3個分數式

這樣，我們通過程式設計探索得到：

結果中的最後乙個分解式是程式設計探索到的乙個新的最優分解式；

有資料指出，如果把5/121分解為4個埃及分數之和，其分母能否小於1089呢？對於這一還沒有定論的分解問題，我們繼續應用程式設計進行探索；

1.說明：

設指定的分數m/d的4個埃及分數的分母分別為a、b、c、e（a< b< c< e），最大分母不超過z，通過三重迴圈實施列舉；

確定a迴圈的起始值a1與終止值a2為：

b迴圈起始取a+1，終止取z-2；

c迴圈起始取b+1，終止取z-1；

對於a、b、c三重迴圈的每一組a、b、c，由1/e=m/d-（1/a+1/b+1/c）即可確定：

計算x=abcd，y=mabc-d（ab+bc+ca）

如果y>0且y整除x，即得整數e，此時如果e>c且e！=d，即得分解為4個埃及分數的分數式，列印輸出後退出內迴圈，繼續尋求；

2.程式設計：

#includeint main()
if(f==1 && e<=z && e>c && e!=d)
}printf("共上述%d個分數式\n",n);
}

3.程式執行示例及其注意事項：

確定分數m/d，請輸入m,d:5,121 請確定分母的上屆:1000 把分數5/121分解為4個埃及分數之和: no1:5/121=1/28+1/462+1/484+1/726 no2:5/121=1/30+1/220+1/484+1/726 no3:5/121=1/33+1/120+1/605+1/968 no4:5/121=1/33+1/132+1/484+1/726 no5:5/121=1/36+1/99+1/484+1/726 no6:5/121=1/44+1/66+1/484+1/726

共上述6個分數式

注意：從以上6個分解式可知，把5/121分解為4個埃及分數之和，最優分母為726；

以上兩個程式並不限於關於5/121的分解，其他分數或整數（輸入時分母d=1）的埃及分數式，請執行程式搜尋；

埃及分數式

貪心埃及分數

埃及分數（EgyptFraction）

貪心法埃及分數

埃及分數式

貪心 埃及分數

埃及分數（EgyptFraction）

貪心法 埃及分數

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