對於空間的理解

先放個鏈結[如何理解空間]，這個鏈結對於如何理解向量空間有清晰的表達。道出其本質是規則的集合。這和數學上關於向量空間的定義是一樣的。我們在學線性代數的時候，向量空間在數學上的「對應概念」就是集合。不同的集合，條件不一樣，也就是規則不一樣。那麼對於空間的理解，就要看它定義了什麼條件，它體現者什麼規則。

對於向量空間，需要理解如下概念：

向量空間

1.1 向量空間的概念

1.2 向量空間對加法和數乘兩種運算封閉

1.3 由向量組生成的向量空間

子空間的概念

向量空間的基和維數

具體概念課參考[向量空間]

設v為n維向量空間的集合，如果集合v非空且對於加法和數乘兩種運算封閉，那麼就稱集合v是向量空間。

設v是實數域上的線性空間，在v中定義了乙個二元實函式，稱為內積，記作(α

,β) ,它具有下列性質：

1) (α,

β)= (β

,α)

2) (kα

,β) = k(

α,β)

,k∈r

3) (α+

β,γ)

= (α

,γ)+

(β,γ

) , γ∈

v

4) (α,

α)≥0

,當且僅當, α=

0時，(α

,α)=

0

其中，α,β

,γ是v中任意向量，k是任意實數。這樣的線性空間v稱為歐幾里得空間，簡稱為歐式空間。

在定義了內積的基礎上，引入長度的概念：非負實數(α

,α)−

−−−−

√稱為向

量α的長

度，記作

|α|

在內積的基礎上，和長度的基礎上，引入夾角的概念：非零向量α,

β 的夾角

<α,

β>=ar

ccos

(α,β

)|α|

|β|

在數學中，希爾伯特空間是歐幾里德空間的乙個推廣，其不再侷限於有限維的情形。與歐幾里德空間相仿，希爾伯特空間也是乙個內積空間，其上有距離和角的概念（及由此引申而來的正交性與垂直性的概念）。此外，希爾伯特空間還是乙個完備的空間，其上所有的柯西序列等價於收斂序列，從而微積分中的大部分概念都可以無障礙地推廣到希爾伯特空間中。希爾伯特空間為基於任意正交系上的多項式表示的傅利葉級數和傅利葉變換提供了一種有效的表述方式，而這也是泛函分析的核心概念之一。希爾伯特空間是公式化數學和量子力學的關鍵性概念之一。

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