BIT二叉索引樹（樹狀陣列）

powered by phantom_lsh將上面的求連續和問題稍微改進一下，現在需要支援一種新的操作：add(x , d) 即把a[x]增加d。

這樣一來，如果通過字首和的方式計算就不能簡化計算了，因為每次修改乙個元素都要修改所有在它後面的字首和。有什麼解決辦法呢？我們需要用一種新的資料結構——bit二叉索引樹（樹狀陣列）。

在介紹二叉索引樹之前必須要介紹這樣乙個函式：lowbit(x)，它返回的是正整數x的二進位制表示方法中最靠右的乙個1所代表的數字（例如：lowbit(10) = 2,因為10的二進位制是1010，最靠右的乙個1在第二位上，代表2）。

其實，lowbit看似複雜其實**實現異常簡單。即：

int lowbit ( int x)

它的原理其實是：在計算機內部，負數（-x）是x按位取反（1變0，0變1）然後加1之後的結果（這裡不討論為什麼），所以，-10的儲存其實是0110 。然後再進行與運算，就可以得到lowbit了。

終於進入了正題。運用lowbit我們可以把從1到n一段數字沿lowbit從大到小一半一半的分割開。比如：1-10中，8的lowbit最大，所以1-7一段，9-10一段，以此類推。所以，好像線段樹那樣，一段連續的數字被不停地分割直到只剩下乙個數字。

我們把lowbit相同的節點放在同一層（沒有的補上去），這樣自然形成一棵結點數為大於n的最小的 2的某整數次方-1 的一棵完全二叉樹，其根結點為lowbit最大的結點。通常我們把0也變成乙個虛擬化的節點放在裡面，方便運算。

我們發現乙個重要的結論：由於lowbit的定義，每個結點的兩個子結點與該結點的二進位制只有兩位不同，一位是該節點的lowbit，兩個子結點分別為0和1，另一位是子結點的lowbit，兩個子結點都為1但是該結點為0 。這樣的現象產生乙個重要性質，即：***對於乙個結點x，它左上方（可以不是順著邊，而是首個向左上回溯的祖先結點）結點的編號為x-lowbit(x)，而右上方（解釋同上）結點的編號為x+lowbit(x) 。***請打草稿或者仔細思考一下這個結論。

因此，我們可以不要儲存這一棵樹，因為邊的關係可以直接計算。另：在bit中只需要向上回溯。

一定要記住，bit的結點儲存的是原來的序列的下標！切記！！

那麼，bit已經構造出來了，怎麼用來解決問題呢？

現在，構造輔助陣列c[n]（就像上面的s[n]一樣），c[x] = a[x-lowbit(x)+1]+a[x-lowbit(x)+2]+a[x-lowbit(x)+3] + ……+a[x]（a陣列是原來的序列）。這是什麼意思呢？請看圖：

每個結點都對應乙個向左延伸的黃顏色的橫條。橫條所覆蓋的數對應的序列值的和記錄在c陣列裡面，就好像字首和一樣。

那麼，c陣列有什麼用呢？

其實，如果要查詢乙個結點x的字首和，只要不停地順著x = x-lowbit(x) 迭代到0，將沿途的c陣列的值全部相加就可以得到a[1]+a[2]+……+a[x]了。在上圖中，就是順著藍色的箭頭不停地向左上方移動，觀察一下，是不是通過黃色的橫條不重複不遺漏的覆蓋了所有的下標？這就是查詢操作了。

那麼增加的操作呢？觀察發現，只要沿著x = x+lowbit(x)不停地向右上方走（圖上的紅色箭頭），直到走出邊界，修改沿途的c值就可以了（使它們增加d）。因為能夠覆蓋到結點x的黃色橫條只有那些。修改操作也就這樣完成了！

最後再說一下預處理，預處理只要把a陣列和c陣列都清空，然後執行n次add操作，相當於從0開始add到原始資料就可以了！

看上去說的很多，其實**實現很簡單，下面附上c++版本的sum函式（字首和）和add函式**。

int sum(int x）
return ans;
}void add(int x, int d)
return ;
}

最終，要求[a , b]的連續和只需要求sum(b) - sum(a-1)就可以了！

由於二叉樹的基本特徵，很容易看出修改和查詢字首和兩個函式的時間複雜度都是o(logn），而預處理是n次add操作，所以預處理時間複雜度是o(nlogn) 在查詢量多時遠遠優於暴力演算法！

powered by phantomlsh

BIT二叉索引樹（樹狀陣列）

二叉索引樹（樹狀陣列）

樹狀陣列（二叉索引樹）

二叉索引樹（樹狀陣列）

相關推薦