連續和查詢問題。給定乙個n個元素的陣列a[1],a[2],....a[n]，我們的任務是設計乙個陣列結構，支援乙個查詢操作query(l,r)=a[l]+a[l+1]+a[l+2]+....+a[r]。如何做呢？如果每次用迴圈來計算，單詞查詢需要o(n)的時間，效率太低。如果借助字首和思想，可以花o(n)時間事先計算好s[i]=a[1]+a[2]+a[3]+....+a[i]。那麼query(l,r)=s[r]-s[l-1]。下面我們要是想再支援乙個操作，即add(x,d) 讓a[x]增加d。那麼如果依照剛才的思路，每次執行add操作需要修改一批s[i]，還是會很慢。有一種二叉索引樹（binary indexed tree，bit）的資料結構可以很好地解決這個問題。為此我們先介紹lowbit。
對於乙個正整數x，我們定義lowbit(x)為x的二進位制表示式中最右邊的1所對應的值。比如，38288的二進位制是1001010110010000，所以lowbit(38288)=16(10000)。在程式實現中，lowbit(x)=x&-x。
如圖所示，是乙個典型的bit，由15個結點組成。灰色結點是bit中的結點（白色長條的含義稍後敘述），每一層結點的lowbit相同，而且lowbit越大，越靠近根。圖中的虛線是bit中的邊。注意編號為0的點是虛擬結點，他並不是樹的一部分，但是他的存在可以讓演算法理解起來更容易一些。
對於結點i，如果它是左子結點，那麼父結點的編號是i+lowbit(i)。如果它是右子結點，那麼父結點的編號是i-lowbit(i)。搞清楚樹的結構之後，構造乙個輔助陣列c，其中c[i]=a[i-lowbit(i)+1]+a[i-lowbit(i)+2]+....+a[i]。換句話說，c的每個元素都是a陣列中的一段連續和。到底是那一段呢？在bit中，每個灰色結點i都屬於乙個以它自身結尾的水平長條（對於lowbit=1的那些點，長條就是他本身），這個長條中數之和就是c[i]。
有了c陣列之後，如何計算字首和s[i]呢？順著結點i往左走，邊走邊往上爬。把沿途經過的c[i]累加起來就可以了。如下圖：
而如果修改了乙個a[i]，需要更新c陣列的哪些元素呢？從a[i]開始往右走，邊走邊往上爬，沿途修改所有結點對應的c[i]即可。如下圖：
兩個操作的**實現為：
int sum(int x)
return ret;
}void add (int x, int d)
}
乙個二叉索引樹的例題
一條大街上住著n個兵乓球愛好者，經常組織比賽，切磋技術。每個人都有乙個不同的技能值a[i]。每場比賽需要三個人，兩名選手，一名裁判。他們有乙個奇怪的規定。即裁判必須能住在兩名選手中間，並且技能值也要在兩名選手之間。問一共能組織多少種比賽。
分析：考慮第i個人當裁判的情形。假設a[1]到a[i-1]中有c[i]個比a[i]小，那麼就有(i-1)-c[i]個比a[i]大；同理，假設a[i+1]到a[n]中又d[i]個比a[i]小，那麼就有(n-i)-d[i]個比a[i]大。根據乘法原理和加法原理，i當裁判的時候有c[i]*(n-i-d[i])+(i-c[i]-1)*d[i]中比賽。這樣問題就轉化為求c[i]和d[i]。
c[i]可以這樣計算：從左到右掃瞄所有的a[i]，另x[j]表示目前為止已經考慮過的所有a[i]中，是否存在乙個a[i]=j(x[j]=0表示不存在，等於1表示存在)，則c[i]就是x[1]+x[2]+...+x[a[i]-1]。初始時所有的x[i]=0，在計算c[i]時，需要先設x[a[i]] = 1，然後求字首和。換句話說我們需要動態的修改單個元素的值並求字首和，這正是bit的標準用法。這樣可以在o(n*logr) （r是a[i]的上限）時間複雜度內計算出所有的c[i]，計算d[i]方法一樣。然後再o(n)時間裡累加出最後的答案。
二叉索引樹（樹狀陣列）
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樹狀陣列（二叉索引樹）
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