一.遞迴模型
分而治之的思想也就是典型的遞迴思想，遞迴思想的核心就是
遞迴模型
的建立，遞迴模型
就是處理這類問題的乙個
相同的框架，這個框架不僅僅是處理總問題的框架，也是處理組成總問題的子問題的框架，這個框架具有公用性，要適用這種公用性，就可以推斷得出，這類問題的結構就有遞迴性質（
從前有座上，山上有座廟，廟裡有個老和尚，老和尚對小和尚說：從前有座上，山上有座廟，廟裡有個老和尚，老和尚對小和尚說。。。。。。。
）
由此可以得出處理遞迴方法的套路：
找出乙個
通用模型：
通用模型
所以乙個通用的遞迴模型就是由上面兩部分組成的；
【遞迴的傳遞】
是保證可以把
母問題劃分為
規模比原問題
小的
子問題；體現分而治之的
分；
【遞迴的出口】
保證遞迴是可窮盡的，在窮盡處實現分而治之的
治
（第一次治）（
把複雜問題轉換為簡單子問題再進行處理，）到達出口，在處理（治）完成以後，會自動返回；
【遞迴的處理】
也就是分而治之的
「治」
，在每個級別規模的問題中都用共同的一套遞迴處理，只不過實現順序有先後之分，注意
遞迴出口的處理
和
遞迴處理
其實是不同的，遞迴出口處的處理一般是結束返回，以邊界值判斷，而遞迴處理是一套共用的處理方法；
【遞迴三要素的順序關係】
我們通常判斷遞迴出口條件以決定遞迴是否向下執行的先決條件，然後才是遞迴的傳遞和遞迴的處理（後兩者順序依情況而定），這裡遞迴出口有兩種形式：
1.遞迴出口的型別
（1）返回型出口（
一定要注意返回值不要丟失
）
例1：求二叉樹的高度的遞迴演算法：
例2：尋找二叉樹任意結點的父節點
錯誤**示範：
上述型別的錯誤非常容易出現：出現的原因是對
return返回
理解的不透徹造成的；
return返回的接收者：只能返回給呼叫自己那個函式，不會越級返回給父函式的上一層或上上層，總的一句話：
誰呼叫返給誰；
上述的**中，在遞迴的出口處（注意，這個出口是由
兩個出口
組成的：當subtree為空或者找到了父節點(subtree->leftnode == current || subtree->rightnode == current)）進行返回，這個返回只會給呼叫它的父函式，
父函式如果想繼續向上傳遞，必須自己再次返回
，否則，返回值丟失；
正確**示範：
紅色標註是父函式自己的返回；
（2）邏輯型出口
例：
if（i>0）就是邏輯型出口，不做任何返回，
這種上一層實現不依賴下一層結果的遞迴最好用迴圈代替（節省空間）
2.遞迴出口、遞迴處理、遞迴傳遞三者的順序關係
遞迴的傳遞：
保證遞迴分治思想，即把大問題劃分為同等結構的子問題；
遞迴出口：
確保遞迴傳遞的可窮盡性，所以肯定在
遞迴傳遞
之前；
遞迴處理：
遞迴的使用場景一般是上一層的結果的計算需要依賴下一層的結果，所以遞迴的處理一般在遞迴的傳遞之後（傳遞下去再返回才能進行這層的計算）；
所以一般遞迴的模型中這三者的順序如下：
遞迴
這只是一般通常的情況，也有不同，比如上面尋找二叉樹父節點的遞迴就是
遞迴的處理
在
遞迴的傳遞
之前，為什麼呢？查詢操作肯定是查到立刻返回，就沒必要遍歷全部結點了（沒必要向下傳遞了）且結果沒有依賴性（結果的得出沒有次序性），上層遞迴只是負責傳遞下層返回的引數，自己不加工。
二.常見的使用遞迴的場景
（1）二叉樹：二叉樹的結構就是遞迴的，所以對他的操作一般考慮遞迴
二叉樹前中後序遍歷；
二叉樹的高度；
二叉樹的映象；
二叉樹的個數；
二叉樹的最大值；
二叉樹的刪除；
二叉樹的尋父節點；
二叉樹的建立：
二叉樹的複製；
（2）階乘：
三.遞迴形象的理解
（1）查單詞：
遇到乙個不理解的單詞，維基百科上查解釋，在這個解釋中又有不理解的單詞，又去查這個單詞的解釋。。。。。。終於有乙個詞條裡每個詞都能看懂了，這時候就返回，繼續看上乙個詞的解釋。
（2）遞紙條：
上課傳紙條，你傳給你的右手邊，右上邊的人又傳給他的右手邊人。。。。紙條傳到了，寫上回話（遞迴出口）後，就往回傳（遞迴返回）
對遞迴的理解
昨天和宿舍一哥們討論二叉樹中求最近公共父節點問題時，才發現原來對遞迴的理解都是錯的，其實在程式內部分配的棧和資料結構的棧功能基本一樣，當然前者的棧還涉及到棧幀，函式內部訪問某個棧幀的元素並不一定是從棧頂訪問。舉乙個簡單的例子，遍歷乙個二叉樹，無論是非遞迴演算法和遞迴演算法時間複雜度都是o n 以前認...
對尾遞迴的理解
遞迴，在程式執行過程中呼叫自己，每一級遞迴都需要呼叫函式，會建立新的棧空間，隨著遞迴深度的增加，建立的棧越來越多，造成棧的 尾遞迴基於函式的尾呼叫，每一級呼叫直接返回函式的返回值更新呼叫棧，而不是建立新的呼叫棧，類似迭代的實現，時間和空間上均優化了一般的遞迴 存在的問題，python不支援尾遞迴，遞...
對遞迴的簡單理解
今天一小夥伴寫了乙個遞迴，echo可以輸出要取的值，return的卻總是null，寫了乙個簡單的測試復原一下問題。function test i echo i return i a test 30 var dump a 結果如下 261014182226 int 26 思路看上去很簡單，i 3就遞迴...