多元最大似然估計函式

2021-07-24 08:48:11 字數 952 閱讀 1118

@(概率論)

最大似然函式用於估計乙個未知引數的場景居多,但實際上也可以用於多個未知引數的估計。δδ

θil=

0 或者令:δδ

θiln

l=0

舉個例子聯絡一下:設x

∼n(μ

,σ2)

,μ,σ

2 為未知引數,x1

,x2,

...,

xn來自x的乙個樣本值,求μ,

σ2的最大似然方程組。

這是很有趣的一道題,我之前不會想到這樣去切入。 f(

x;μ,

σ2)=

12π‾

‾‾√σ

exp[−1

2σ2(

x−μ)

2]→l

(μ,σ

2)=∏

i=1n

12π‾

‾‾√σ

exp[−1

2σ2(

xi−μ

)2]=

(2π)

−n2(

σ2)−

n2exp[−1

2σ2(

xi−μ

)2]

由此,可以令兩個偏導數為0,為了降低複雜度我們選擇求的對數的導數。δδ

μlnl

=1σ2

(∑i=

1nxi

−nμ)

=0δδ

σ2ln

l=−n

2σ2+

12(σ

2)2∑

i=1n

(xi−

μ)2=

0 由第乙個式子可得:μ̂ 

=1n∑

ni=1

xi=x

⎯⎯

代入第二個式子,可得:σ̂ 

2=1n

∑ni=

1(xi

−x⎯⎯

)2

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