hihocoder1378 網路流之最大流最小割

2021-07-24 08:20:46 字數 3478 閱讀 9949

思路：

描述小hi：在上一周的hiho一下中我們初步講解了網路流的概念以及常規解法，小ho你還記得內容麼？

小ho：我記得！網路流就是給定了一張圖g=(v,e)，以及源點s和匯點t。每一條邊e(u,v)具有容量c(u,v)。網路流的最大流問題求解的就是從s到t最多能有多少流量。

小hi：那這個問題解決辦法呢？

小ho：解決網路流的基本思路就是尋找增廣路，不斷更新殘留網路。直到找不到新的增廣路，此時得到的流就是該網路的最大流。

小hi：沒錯，看來你記得很牢嘛。

小ho：哎嘿嘿，不過這裡我有乙個問題，為什麼找不到增廣路時就已經找到了最大流呢？

小hi：這一次我就來解決你的疑惑，首先我們要從網路流的割開始講起。

對於乙個網路流圖g=(v,e)，其割的定義為一種點的劃分方式：將所有的點劃分為s和t=v-s兩個部分，其中源點s∈s，匯點t∈t。

對於乙個割(s,t)，我們定義淨流f(s,t)表示穿過割(s,t)的流量之和，即：

f(s,t) = σf(u,v) | u∈s,v∈t
舉個例子(該例子選自演算法導論)：

淨流f = f(2,4)+f(3,4)+f(3,5) = 12+(-4)+11 = 19
同時我們定義割的容量c(s,t)為所有從s到t的邊容量之和，即：

c(s,t) = σc(u,v) | u∈s,v∈t
同樣在上面的例子中，其割的容量為：

c(2,4)+c(3,5)=12+14=26
小ho：也就是說在計算割(s,t)的淨流f(s,t)時可能存在反向的流使得f(u,v)<0，而容量c(s,t)一定是非負數。

小hi：你這麼說也沒錯。實際上對於任意乙個割的淨流f(s,t)總是和網路流的流量f相等。比如上面例子中我們改變一下割的方式：

可以計算出對於這兩種情況淨流f(s,t)仍然等於19。

乙個直觀的解釋是：根據網路流的定義，只有源點s會產生流量，匯點t會接收流量。因此任意非s和t的點u，其淨流量一定為0，也即是σ(f(u,v))=0。而源點s的流量最終都會通過割(s,t)的邊到達匯點t，所以網路流的流f等於割的靜流f(s,t)。

嚴格的證明如下：

f(s,t) = f(s,v) - f(s,s)


從s到t的流等於從s到所有節點的流減去從s到s內部節點的流


f(s,t) = f(s,v)


由於s內部的節點之間存在的流一定有對應的反向流，因此f(s,s)=0


f(s,t) = f(s,v) + f(s-s,v)


再將s集合分成源點s和其他屬於s的節點


f(s,t) = f(s,v)


由於除了源點s以外其他節點不會產生流，因此f(s-s,v)=0


f(s,t) = f(s,v) = f
所以f(s,t)等於從源點s出來的流，也就是網路的流f。

小ho：簡單理解的話，也就是說任意乙個割的淨流f(s,t)都等於當前網路的流量f。

小hi：是這樣的。而對於任意乙個割的淨流f(s,t)一定是小於等於割的容量c(s,t)。那也即是，對於網路的任意乙個流f一定是小於等於任意乙個割的容量c(s,t)。

而在所有可能的割中，存在乙個容量最小的割，我們稱其為最小割。

這個最小割限制了乙個網路的流f上界，所以有：

對於任乙個網路流圖來說，其最大流一定是小於等於最小割的。

小ho：但是這和增廣路又有什麼關係呢？

小hi：接下來就是重點了。利用上面講的知識，我們可以推出乙個最大流最小割定理：

對於乙個網路流圖g=(v,e)，其中有源點s和匯點t，那麼下面三個條件是等價的：


1. 流f是圖g的最大流


2. 殘留網路gf不存在增廣路


3. 對於g的某乙個割(s,t)，此時f = c(s,t)
首先證明1 => 2：

我們利用反證法，假設流f是圖g的最大流，但是殘留網路中還存在有增廣路p，其流量為fp。則我們有流f'=f+fp>f。這與f是最大流產生矛盾。
接著證明2 => 3：

假設殘留網路gf不存在增廣路，所以在殘留網路gf中不存在路徑從s到達t。我們定義s集合為：當前殘留網路中s能夠到達的點。同時定義t=v-s。


此時(s,t)構成乙個割(s,t)。且對於任意的u∈s,v∈t，有f(u,v)=c(u,v)。若f(u,v)0，s可以到達v，與v屬於t矛盾。


因此有f(s,t)=σf(u,v)=σc(u,v)=c(s,t)。
最後證明3 => 1：

由於f的上界為最小割，當f到達割的容量時，顯然就已經到達最大值，因此f為最大流。
這樣就說明了為什麼找不到增廣路時，所求得的一定是最大流。

#include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include using namespace std;


#pragma comment(linker, "/stack:102400000,102400000")


#define maxn 505


#define mod 1000000007


#define mod 2147493647


#define mem(a , b) memset(a , b , sizeof(a))


#define ll long long


#define ull unsigned long long


#define for(i , n) for(int i = 1 ;  i<= n ; i ++)


typedef pairpii;


int n , m , t;


vectorv[maxn];


int a[maxn][maxn] , path[maxn];


bool vis[maxn] ;


int flow[maxn];


bool getaugmentpath()


for(int i = 0 ; i < v[cur].size() ; i ++)}}


return 0;


}void update(int num)


return ;


}int main()


int ans = 0;


while(getaugmentpath())


int node[maxn] , id = 0;


for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)


}printf("%d %d\n" , ans , id);


for(int i = 0 ; i < id; i ++)


cout << endl;


}return 0;


}

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