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描述小ho：我記得！網路流就是給定了一張圖g=(v,e)，以及源點s和匯點t。每一條邊e(u,v)具有容量c(u,v)。網路流的最大流問題求解的就是從s到t最多能有多少流量。
小hi：那這個問題解決辦法呢？
小ho：解決網路流的基本思路就是尋找增廣路，不斷更新殘留網路。直到找不到新的增廣路，此時得到的流就是該網路的最大流。
小hi：沒錯，看來你記得很牢嘛。
小ho：哎嘿嘿，不過這裡我有乙個問題，為什麼找不到增廣路時就已經找到了最大流呢？
小hi：這一次我就來解決你的疑惑，首先我們要從網路流的割開始講起。
對於乙個網路流圖g=(v,e)，其割的定義為一種點的劃分方式：將所有的點劃分為s和t=v-s兩個部分，其中源點s∈s，匯點t∈t。
對於乙個割(s,t)，我們定義淨流f(s,t)表示穿過割(s,t)的流量之和，即：
f(s,t) = σf(u,v) | u∈s,v∈t舉個例子(該例子選自演算法導論)：
淨流f = f(2,4)+f(3,4)+f(3,5) = 12+(-4)+11 = 19同時我們定義割的容量c(s,t)為所有從s到t的邊容量之和，即：
c(s,t) = σc(u,v) | u∈s,v∈t同樣在上面的例子中，其割的容量為：
c(2,4)+c(3,5)=12+14=26小ho：也就是說在計算割(s,t)的淨流f(s,t)時可能存在反向的流使得f(u,v)<0，而容量c(s,t)一定是非負數。
小hi：你這麼說也沒錯。實際上對於任意乙個割的淨流f(s,t)總是和網路流的流量f相等。比如上面例子中我們改變一下割的方式：
可以計算出對於這兩種情況淨流f(s,t)仍然等於19。
乙個直觀的解釋是：根據網路流的定義，只有源點s會產生流量，匯點t會接收流量。因此任意非s和t的點u，其淨流量一定為0，也即是σ(f(u,v))=0。而源點s的流量最終都會通過割(s,t)的邊到達匯點t，所以網路流的流f等於割的靜流f(s,t)。
嚴格的證明如下：
f(s,t) = f(s,v) - f(s,s)所以f(s,t)等於從源點s出來的流，也就是網路的流f。從s到t的流等於從s到所有節點的流減去從s到s內部節點的流
f(s,t) = f(s,v)
由於s內部的節點之間存在的流一定有對應的反向流，因此f(s,s)=0
f(s,t) = f(s,v) + f(s-s,v)
再將s集合分成源點s和其他屬於s的節點
f(s,t) = f(s,v)
由於除了源點s以外其他節點不會產生流，因此f(s-s,v)=0
f(s,t) = f(s,v) = f
小ho：簡單理解的話，也就是說任意乙個割的淨流f(s,t)都等於當前網路的流量f。
小hi：是這樣的。而對於任意乙個割的淨流f(s,t)一定是小於等於割的容量c(s,t)。那也即是，對於網路的任意乙個流f一定是小於等於任意乙個割的容量c(s,t)。
而在所有可能的割中，存在乙個容量最小的割，我們稱其為最小割。
這個最小割限制了乙個網路的流f上界，所以有：
對於任乙個網路流圖來說，其最大流一定是小於等於最小割的。
小ho：但是這和增廣路又有什麼關係呢？
小hi：接下來就是重點了。利用上面講的知識，我們可以推出乙個最大流最小割定理：
對於乙個網路流圖g=(v,e)，其中有源點s和匯點t，那麼下面三個條件是等價的：首先證明1 => 2：1. 流f是圖g的最大流
2. 殘留網路gf不存在增廣路
3. 對於g的某乙個割(s,t)，此時f = c(s,t)
我們利用反證法，假設流f是圖g的最大流，但是殘留網路中還存在有增廣路p，其流量為fp。則我們有流f'=f+fp>f。這與f是最大流產生矛盾。接著證明2 => 3：
假設殘留網路gf不存在增廣路，所以在殘留網路gf中不存在路徑從s到達t。我們定義s集合為：當前殘留網路中s能夠到達的點。同時定義t=v-s。最後證明3 => 1：此時(s,t)構成乙個割(s,t)。且對於任意的u∈s,v∈t，有f(u,v)=c(u,v)。若f(u,v)0，s可以到達v，與v屬於t矛盾。
因此有f(s,t)=σf(u,v)=σc(u,v)=c(s,t)。
由於f的上界為最小割，當f到達割的容量時，顯然就已經到達最大值，因此f為最大流。這樣就說明了為什麼找不到增廣路時，所求得的一定是最大流。
小ho：原來是這樣，我明白了。
輸入第1行：2個正整數n,m。2≤n≤500，1≤m≤20,000。
第2..m+1行：每行3個整數u,v,c(u,v)，表示一條邊(u,v)及其容量c(u,v)。1≤u,v≤n，0≤c(u,v)≤100。
給定的圖中預設源點為1，匯點為n。可能有重複的邊。
輸出第1行：2個整數a b，a表示最小割的容量，b表示給定圖g最小割s集合的點數。
第2行：b個空格隔開的整數，表示s集合的點編號。
若存在多個最小割可以輸出任意乙個的解。
樣例輸入
6 7樣例輸出1 2 3
1 3 5
2 4 1
3 4 2
3 5 3
4 6 4
5 6 2
5 41 2 3 5
分析：題目中的s集合就是包含源點s的集合，先跑一遍最大流(dinic)，求出殘餘網路
再bfs分層，此時從源點能遍歷到的點都是s集中的點，因為最小割的邊一定是滿流的，即殘餘流量為0。
#include#includeview code#include
#include
#define inf 999999999
using
namespace
std;
int map[502][502
];int
n,m;
int dis[502],p[502
];int
bfs()
}if(dis[n]>0) return1;
return0;
}int dfs(int cur,int
m) }
if(res) return
res;
dis[cur]=-1
;
return0;
}int
main()
int ans=0
,res;
while
(bfs())
while(res=dfs(1
,inf))
ans+=res;
int cnt=0
;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(dis[i]!=-1) p[cnt++]=i;
printf(
"%d %d\n
",ans,cnt);
for(int i=0;i"
%d "
,p[i]);
printf("\n
");return0;
}
hihocoder1378 網路流之最大流最小割
思路 描述小hi 在上一周的hiho一下中我們初步講解了網路流的概念以及常規解法，小ho你還記得內容麼？小ho 我記得！網路流就是給定了一張圖g v,e 以及源點s和匯點t。每一條邊e u,v 具有容量c u,v 網路流的最大流問題求解的就是從s到t最多能有多少流量。小hi 那這個問題解決辦法呢？小...
hihoCoder 1496 尋找最大值
時間限制 10000ms 單點時限 1000ms 記憶體限制 256mb 描述 給定n個數a1,a2,a3,an，小ho想從中找到兩個數ai和aj i j 使得乘積ai aj ai and aj 最大。其中and是按位與操作。小ho當然知道怎麼做。現在他想把這個問題交給你。輸入 第一行乙個數t，表示...
hihocoder 1496 尋找最大值
我是真心沒想到，暴力也能過 說好的數學題一般都是有什麼小技巧的麼？到這裡怎麼成了暴力！都是套路啊啊啊啊啊啊！時間限制 10000ms 單點時限 1000ms 記憶體限制 256mb 給定n個數a1,a2,a3,an，小ho想從中找到兩個數ai和aj i j 使得乘積ai aj ai and aj 最...