相機模型
數位相機影象拍攝的過程實際上是乙個光學成像的過程。相機的成像過程涉及到四個座標系：世界座標系、相機座標系、影象座標系、畫素座標系以及這四個座標系的轉換。
相機模型是光學成像模型的簡化，目前有線性模型和非線性模型兩種。實際的成像系統是透鏡成像的非線性模型。最基本的透鏡成像原理如圖所示：
其中 u 為物距， f 為焦距，v 為相距。三者滿足關係式：
相機的鏡頭是一組透鏡，當平行於主光軸的光線穿過透鏡時，會聚到一點上，這個點叫做焦點，焦點到透鏡中心的距離叫做焦距 f。數位相機的鏡頭相當於乙個凸透鏡，感光元件就處在這個凸透鏡的焦點附近，將焦距近似為凸透鏡中心到感光元件的距離時就成為小孔成像模型。小孔成像模型如圖所示。
小孔成像模型是相機成像採用最多的模型。在此模型下，物體的空間座標和影象座標之間是線性的關係，因而對相機引數的求解就歸結到求解線性方程組上。四個座標系的關係圖如下圖所示，其中 m 為三維空間點，m 為 m 在影象平面投影成的像點。
①世界座標系：是客觀三維世界的絕對座標系，也稱客觀座標系。因為數位相機安放在三維空間中，我們需要世界座標系這個基準座標系來描述數位相機的位置，並且用它來描述安放在此三維環境中的其它任何物體的位置，用（xw, yw, zw）表示其座標值。
②相機座標系（光心座標系）：以相機的光心為座標原點，x 軸和y 軸分別平行於影象座標系的 x 軸和y 軸，相機的光軸為z 軸，用（xc, yc, zc）表示其座標值。
③影象座標系：以ccd 影象平面的中心為座標原點，x軸和y 軸分別平行於影象平面的兩條垂直邊，用( x , y )表示其座標值。影象座標系是用物理單位（例如公釐）表示畫素在影象中的位置。
④畫素座標系：以 ccd 影象平面的左上角頂點為原點，x 軸和y 軸分別平行於影象座標系的 x 軸和y 軸，用(u , v )表示其座標值。數位相機採集的影象首先是形成標準電訊號的形式，然後再通過模數轉換變換為數字影象。每幅影象的儲存形式是m × n的陣列，m 行 n 列的影象中的每乙個元素的數值代表的是影象點的灰度。這樣的每個元素叫畫素，畫素座標系就是以畫素為單位的影象座標系。
畫素座標系與影象座標系的關係如圖。
他們之間的轉換關係為：
採用齊次座標再用矩陣形式將上式表示為：
其中（u0, v0）是影象座標系原點在畫素座標系中的座標，dx 和dy
分別是每個畫素在影象平面x和
y方向上的物理尺寸。
影象座標系與相機座標系的轉換為：
其中 f 為焦距（像平面與相機座標系原點的距離）。用齊次座標系和矩陣表示上述關係：
相機座標系與世界座標系的變換為：
其中 r 為3 × 3正交旋轉矩陣，t 為三維平移向量，綜合起來：
ax, ay分別是影象水平軸和垂直軸的尺度因子。k的引數中只包含焦距、主點座標等只由相機的內部結構決定，因此稱 k 為內部引數矩陣，ax, ay , u0, v0叫做內部引數。m1中包含的旋轉矩陣和平移向量是由相機座標系相對於世界座標系的位置決定的，因此稱m1為相機的外部引數矩陣，r和t叫做外部引數，m 叫投影矩陣。相機標定就是確定相機的內部引數和外部引數。
理想的透視模型是針孔成像模型，物和像會滿足相似三角形的關係。但是實際上由於相機光學系統存在加工和裝配的誤差，透鏡就並不能滿足物和像成相似三角形的關係，所以相機影象平面上實際所成的像與理想成像之間會存在畸變。畸變屬於成像的幾何失真，是由於焦平面上不同區域對影象的放大率不同形成的畫面扭曲變形的現象，這種變形的程度從畫面中心至畫面邊緣依次遞增，主要在畫面邊緣反映比較明顯。為了減小畸變，拍攝時應盡量避免用鏡頭焦距的最廣角端或最遠端拍攝。實際的相機成像模型如下圖所示。
其中 mr(xr,yr)表示實際投影點的像平面座標系下的物理座標，mi(xi,yi)表示理想投影點的像平面座標系下的物理座標。鏡頭的畸變模型可表示為：
σx 和σy是非線性畸變值，它包括徑向畸變和偏心畸變和薄稜鏡畸變等。
理論上來說鏡頭都存在徑向和切向畸變，但是通常徑向畸變較大，切向畸變較小。徑向畸變的模型可由下面的模型來表示：
其中k1 k2 k3……示徑向畸變係數，
通常情況下徑向畸變係數只考慮到一階或二階就可以滿足精度需求了。
偏心畸變模型是由於多個光學鏡頭的光軸不能完全共線產生的，這種畸變是由徑向和切向畸變共同構成的，數學模型可表示如下：
其中p1, p2為切向畸變係數。薄稜鏡畸變是由於鏡頭設計製造缺陷和加工安裝所造成的，如鏡頭與相機成像平面有乙個很小的傾角等。因為薄稜鏡畸變非常小，通常不考慮，這裡只考慮徑向畸變和偏心畸變，畸變總的可以表示為：
實際的成像模型為：
以上主要分析了如下座標系變換：
1）世界座標系座標->相機座標系座標（使用其次座標系）【r，t】
2）相機座標系座標->歸一化相機座標系座標（歸一化影象座標系座標）【x1/x3, x2/x3, 1】
3）歸一化影象座標系座標->畫素座標系座標【k】
注意：1）相機矩陣c（3x4）與相機內參矩陣k（3x3）不同；
2）相機座標系下齊次座標歸一化一次變為3維非其次座標；繼續歸一化一次（z=1）變為像平面2維座標；
3）畫素座標左乘k-1得到（z=1）的相機座標系座標；』
相機模型 針孔相機
想到學習下相機模型，是因為最近做的事情涉及到求解相機引數 恢復相機位置等。而在這裡開博，主要也是當做學習筆記來用。其中 表示引用和參考。在相機模型中，針孔相機是相對簡單而常用的模型。簡單的說，針孔相機模型就是把相機簡化成小孔成像，如圖1，f標註的距離是焦距。可以想見，這種簡化對於精度要求高的情況或者...
針孔相機模型
相機將三維世界中的座標點對映到二維影象平面的過程能夠用乙個幾何模型進行描述。這個模型有很多種，其中最簡單的稱為針孔模型。在現實生活中，針孔相機是由前方有 乙個小洞 針孔 所構成。現實世界中源於某個物體的光線穿過此洞，會在攝像機的底板或影象平面上形成一幅倒立的影象。略為不便的是針孔相機的影象是倒置的。...
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