最長公共上公升子串行的DP解法及其優化

最近學習了關於最長公共上公升子串行的dp做法，去網上查了一些資料。由於一方面感覺太凌亂，另一方面感覺icpc中懂得「為什麼」懂得「怎麼做」更加重要，於是自己就寫一些總結咯。

定義狀態

f[i][j]表示以a串的前i個整數與b串的前j個整數且以b[j]為結尾構成的lcis的長度。

狀態轉移方程：

①f[i][j] = f[i-1][j] (a[i] != b[j])

②f[i][j] = max(f[i-1][k]+1) (1 <= k <= j-1 && b[j] > b[k])

現在我們來說為什麼會是這樣的狀態轉移方程呢？

對於①，因為f[i][j]是以b[j]為結尾的lcis，如果f[i][j]>0那麼就說明a[1]..a[i]中必然有乙個整數a[k]等於b[j],因為a[k]!=a[i]，那麼a[i]對f[i][j]沒有貢獻，於是我們不考慮它照樣能得出f[i][j]的最優值。所以在a[i]!=b[j]的情況下必然有f[i][j]=f[i-1][j]。

對於②，前提是a[i] == b[j],我們需要去找乙個最長的且能讓b[j]接在其末尾的lcis。之前最長的lcis在哪呢？首先我們要去找的f陣列的第一維必然是i-1。因為i已經拿去和b[j]配對去了，不能用了。並且也不能是i-2，因為i-1必然比i-2更優。第二維呢？那就需要列舉b[1]...b[j-1]了，因為你不知道這裡面哪個最長且哪個小於b[j]。這裡還有乙個問題，可不可能不配對呢？也就是在a[i]==b[j]的情況下，需不需要考慮f[i][j]=f[i-1][j]的決策呢？答案是不需要。因為如果b[j]不和a[i]配對，那就是和之前的a[1]...a[j-1]配對（假設f[i-1][j]>0，等於0不考慮），這樣必然沒有和a[i]配對優越。（為什麼必然呢？因為b[j]和a[i]配對之後的轉移是max(f[i-1][k])+1，而和之前的i`配對則是max(f[i`-1][k])+1。

樸素的lcis演算法實現

以hdu 1423greatest common increasing subsequence為例。

預處理：

#include #include #include #include #include #include using namespace std;  
const int maxn = 1001;  
int a[maxn], b[maxn];  
int f[maxn][maxn];  
int n, m;  
void init()

核心**：

void dp()  
}  }  
int ans = 0;  
for(int i = 1; i <= m; i++) ans = max(ans, f[n][i]);  
printf("%d\n", ans);  
}

以上的**的時間複雜度是o(n^3)，那我們怎麼去優化呢？通過思考發現，第三層迴圈找最大值是否可以優化呢？我們能否直接把列舉最大的f[i-1][k]值直接算出來呢？假設存在這麼乙個序列a[i] == b[j],我們繼續看狀態轉移方程②，會發現b[j] > b[k]，即當a[i] == b[j]時，可以

推出a[i] > b[k]

，那麼有了這個表示式我們可以做什麼呢？可以發現，我們可以維護乙個max值來儲存最大的f[i-1][k]值。即只要有a[i] > a[j]的地方，那麼我們就可以更新最大值，所以，當a[i] == b[j]的時候，f[i][j] = max+1，即可。

核心**：

void dp()  
}  int ans = 0;  
for(int i = 1; i <= m; i++) ans = max(ans, f[n][i]);  
printf("%d\n", ans);  
}

可以發現，其實上面的**有些地方與0/1揹包很相似，即每次用到的只是上一層迴圈用到的值，即f[i-1][j]，那麼我們可以像優化0/1揹包問題利用滾動陣列來優化空間。

核心**：

void dp()  
}  int ans = 0;  
for(int j = 1; j <= m; j++) ans = max(ans, f[j]);  
printf("%d\n", ans);  
}

如果是求最長公共下降子串行呢？很明顯嘛，把狀態定義改動一下，即f[i][j]表示以a串的前i個整數與b串的前j個整數且以b[j]為結尾構成的lcds的長度，具體實現的時候只要把a[i] > b[j]改為a[i] < b[j]就可以啦。

擴充套件閱讀：

最長公共上公升子串行的DP解法及其優化

最長公共上公升子串行（dp）

最長公共上公升子串行

最長公共上公升子串行

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