m,
n 沒有給出線性系統實際大小的真實資訊，在我們上文的例子中有三行和四列，但是第三行僅僅是前兩行的組合，在消元後得到了零行，它對奇次問題ax
=0沒有影響。第四列同樣是相關的，列空間減到了二維平面。
最重要的數是矩陣的秩
r ，在消元過程中得到主元的個數是引入了這個數。等價的，最終矩陣u有
r 的非零行，這個定義是從計算中給出的，但是就這樣結束不太妥當，因為這樣的話秩給我們簡單而直觀的印象就是：矩陣
a中無關行的數目。我們想要數學上的定義而不是計算。
線性無關或相關
生成乙個子空間
子空間的基(一組向量)
子空間的維度(乙個數)
首先是定義線性無關。給定一組向量v1
,…,v
k ，對於他們的組合c1
v1+c
2v2+
⋯+ck
vk(這種組合叫平凡組合)，當權值ci
=0時明顯結果就是零向量：0v
1+⋯+
0vk=
0 ，現在的問題是是否只有這一種方式得到零，如果是，那麼這些向量就是無關的。
如果存在任何其他組合得出零，那麼他們就是相關的。
5、假設c1
v1+⋯
+ckv
k=0 只有在c1
=⋯=c
k=0 時成立，那麼向量v1
,…,v
k 是線性無關的。如果任何
c 不為零，那麼這些向量是線性相關的。其中乙個向量是其他向量的組合。
當所有向量從原點出發時，線性相關很容易在三維空間裡視覺化，如果兩個向量在同一條線上，那麼他們就是相關的，如果三個向量在同乙個平面上，那麼他們也是相關的。一般情況下隨便選擇三個向量，他們是線性無關的(不在乙個平面上)，四個向量在r3
空間裡總是線性相關的。
例1：如果v1
是零向量，那麼集合是線性相關的，例如我們可以令c1
=3而其他ci
=0；這是非平凡組合，並且得到了零。
例2：矩陣 a=
⎡⎣⎢1
2−13
6−33
9325
0⎤⎦⎥
是線性相關的，因為第二列是第一列的三倍，列組合的權值-3,1,0,0可以得到零。
行也是線性相關的，第三行是第二行的二倍減去第一行的五倍。
例3：下面三角矩陣的列是線性無關的： a=
⎡⎣⎢3
0041
0252
⎤⎦⎥
尋找乙個列組合使得： c1
⎡⎣⎢3
00⎤⎦
⎥+c2
⎡⎣⎢4
10⎤⎦
⎥+c3
⎡⎣⎢2
52⎤⎦
⎥=⎡⎣
⎢000
⎤⎦⎥
我們發現c1
,c2,
c3只有全為零是才成立。首先從最後乙個方程可以看出c3
=0，那麼接下來我們發現c2
=0，然後c1
=0。產生零向量的唯一組合是平凡組合，
a 的零空間只包含零向量c1
=c2=
c3=0
。當矩陣
a 的零空間n(
a)=z
erov
ecto
r時，它的列是無關的。
同樣有種方法來推斷
a 的行是無關的，假設 c1
(3,4
,2)+
c2(0
,1,5
)+c3
(0,0
,2)=
(0,0
,0)從第一元素我們發現3c
1=0o
rc1=
0 ，那麼第二個元素得到c2
=0，最後c3=0。
任何階梯矩陣
u 的非零行一定是無關的，更進一步，如果我們選取主元所在的列，他們也是線性無關的，在上文的例子中 u=
⎡⎣⎢1
0030
0330
210⎤
⎦⎥6、階梯矩陣
u 和最簡矩陣r的
r 個非零行是線性無關的，所以包含主元的
r列也是無關的。
例4：n×
n 單位矩陣的列是無關的： i=
⎡⎣⎢⎢
⎢10⋅
001⋅
0⋅⋅⋅
0000
1⎤⎦⎥
⎥⎥這些列e1
,…,e
n 表示r4
空間內座標軸方向上的單位向量 e1
=[10
00],
e2=[
0100
],e3
=[00
10],
e4=[
0001].r
4 中許多四個向量的集合是無關的，這些
e 可能是最安全的。
為了確定任何集合v1
,…,v
n是無關的，將他們放到
a 的列中，然後求解ac
=0；如果除了c=
0 外還有解，那麼就是相關的。如果沒有自由變數，除了c=
0 外零空間沒有其他元素，那麼向量就是無關的。如果秩小於
n ，那麼至少有乙個自由變數非零，列是相關的。
有種情況特別重要，有
n個向量，每個向量有
m 個元素，那麼
a就是乙個m×
n 矩陣，假設
n>
m ，因為行沒有列多，所以不可能有
n 個主元，秩肯定小於
n，對於每個未知數大於方程分數的ac
=0肯定有c≠
0 的解。
7、對於rm
中n 個向量的集合，如果
n>
m，那麼他們肯定是線性相關的。
例5：r2
中的三個列不可能無關： a=
[112
312]
為了找出得到零的列組合，我們求ac
=0： a→
u=[1
0211
1]如果我們將自由變數c3
賦值1，那麼回代得到c2
=−1,
c1=1
，根據這些權值，第一列減去第二列加上第三列的得到零。
現在我們定義乙個向量集合生成乙個空間是什麼意思。
a 的列空間是由列生成的，他們的組合產生了整個空間：
8、如果向量空間v包含
w1,…
,wℓ 所有線性組合，那麼這些向量生成了空間，
v 中的每乙個向量v都是
w 的某種組合：v=
c1w1
+⋯+c
ℓwℓ} 不同的
w 組合可以得到同乙個向量
v，因為生成的集合可能非常大，所以
c 可以有個許多種選擇。
例6：向量w1
=(1,
0,0)
,w2=
(0,1
,0),
w3=(
−2,0
,0)在
r3中生成了乙個平面，前兩個向量也生成了這個平面，而w1
,w3 只生成了一條線。
例7：
a 的列空間就是它的列生成的空間，行空間是它的行生成的，
a乘以任何
x 都給出乙個列組合；向量ax
在它的列空間裡。
來自單位矩陣的座標向量e1
,…,e
n 生成rn
空間，每個向量b=
(b1,
…,bn
) 是這些列的組合，在這個例子中權值就是這些元素bi
本身：b=
b1e1
+⋯+b
nen ，但是其他矩陣的列也生成rn
。為了確定
b 是否是列的組合，我們嘗試求解ax
=b，為了確定列是否無關，我們求解ax
=0。生成涉及到列空間，無關涉及到零空間。座標向量e1
,…,e
n 生成rn
，他們是線性無關的。簡答倆說，這個集合中沒有乙個向量被浪費掉，這引出了乙個非常重要的概念：基。
9、
v 的基是乙個向量序列，他們具有兩個性質：
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