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一、1的數目
程式設計之美上給出的規律：
1. 如果第i位（自右至左，從1開始標號）上的數字為0，則第i位可能出現1的次數由更高位決定（若沒有高位，視高位為0），等於更高位數字x當前位數的權重10i-1。
2. 如果第i位上的數字為1，則第i位上可能出現1的次數不僅受更高位影響，還受低位影響（若沒有低位，視低位為0），等於更高位數字x當前位數的權重10i-1+（低位數字+1）。
3. 如果第i位上的數字大於1，則第i位上可能出現1的次數僅由更高位決定（若沒有高位，視高位為0），等於（更高位數字+1）x當前位數的權重10i-1。
二、x的數目
這裡的 x∈[1,9]
，因為 x=0
不符合下列規律，需要單獨計算。
首先要知道以下的規律：
依此類推，從 1 至 10i
，在它們的左數第二位（右數第 i
位）中，任意的 x 都出現了 10i−1次。
這個規律很容易驗證，這裡不再多做說明。
接下來以 n=2593,x=5
為例來解釋如何得到數學公式。從 1 至 2593 中，數字 5 總計出現了 813 次，其中有 259 次出現在個位，260 次出現在十位，294 次出現在百位，0 次出現在千位。
現在依次分析這些資料，首先是個位。從 1 至 2590 中，包含了 259 個 10，因此任意的 x 都出現了 259 次。最後剩餘的三個數 2591, 2592 和 2593，因為它們最大的個位數字 3 < x，因此不會包含任何 5。（也可以這麼看，31-1=259）。
然後是十位。從 1 至 2500 中，包含了 25 個 100，因此任意的 x 都出現了 25×10=250
次。剩下的數字是從 2501 至 2593，它們最大的十位數字 9 > x，因此會包含全部 10 個 5。最後總計 250 + 10 = 260。（也可以這麼看，9>x，則十位上可能出現的x的次數僅由更高位決定，等於更高位數字（25+1）x102-1=260）。
接下來是百位。從 1 至 2000 中，包含了 2 個 1000，因此任意的 x 都出現了 2×100=200
次。剩下的數字是從 2001 至 2593，它們最大的百位數字 5 == x，這時情況就略微複雜，它們的百位肯定是包含 5 的，但不會包含全部 100 個。如果把百位是 5 的數字列出來，是從 2500 至 2593，數字的個數與百位和十位數字相關，是 93+1 = 94。最後總計 200 + 94 = 294。（也可以這麼看，5==x，則百位上可能出現x的次數不僅受更高位影響，還受低位影響，等於更高位數字（2）x103-1+（93+1）=294）。
最後是千位。現在已經沒有更高位，因此直接看最大的千位數字 2 < x，所以不會包含任何 5。（也可以這麼看，24-1=0）。
到此為止，已經計算出全部數字 5 的出現次數。
總結一下以上的演算法，可以看到，當計算右數第 i
位包含的 x 的個數時：
取第 i
位左邊（高位）的數字，乘以 10i−1
，得到基礎值a。
取第 i
位數字，計算修正值：
如果大於 x，則結果為 a+10i−1
。如果小於 x，則結果為 a
。如果等 x，則取第 i
位右邊（低位）數字，設為 b
，最後結果為 a+b+1。
相應的**非常簡單，效率也非常高，時間複雜度只有 o(log10n)。
計算從1到N中1的出現次數
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