換錢的最少貨幣數

【題目】

給定陣列arr，arr中所有的值都為正數且不重複。

每個值代表一種面值的貨幣，每種面值的貨幣可以使用任意張，

再給定乙個整數aim代表要找的錢數，求組成aim的最少貨幣數。

【舉例】

arr=[5，2，3]，aim=20。

4張5元可以組成20元，其他的找錢方案都要使用更多張的貨幣，所以返回4。

arr=[5，2，3]，aim=0。不用任何貨幣就可以組成0元，返回0。

arr=[3，5]，aim=2。根本無法組成2元，錢不能找開的情況下預設返回-1。

【解答】

原問題的經典動態規劃方法。如果arr的長度為n，

生成行數為n、列數為aim+1的動態規劃表的dp。

dp[i][j]的含義是，在可以任意使用arr[0..i]貨幣的情況下，

組成j所需的最小張數。根據這個定義，dp[i][j]的值按如下方式計算：

1.dp[0..n-1][0]的值（即dp矩陣中第一列的值）表示找的錢數為0時需要的最少張數，

錢數為0時，完全不需要任何貨幣，所以全設為0即可。

2.dp[0][0..aim]的值（即dp矩陣中第一行的值）表示只能使用arr[0]貨幣的情況下，

找某個錢數的最小張數。比如，arr[0]=2，那麼能找開的錢數為2，4，6，8，..．

所以令dp[0][2]=1，dp[0][4]=2，dp[0][6]=3，..．第一行其他位置所代表的錢數一律找不開，

所以一律設為32位整數的最大值，我們把這個值記為max。

3．剩下的位置依次從左到右，再從上到下計算。

假設計算到位置(i ，j)，dp[i][j]的值可能來自下面的情況。

●　完全不使用當前貨幣arr[i]情況下的最少張數，即dp[i-1][j]的值。

●　只使用1張當前貨幣arr[i]情況下的最少張數，即dp[i-1][j-arr[i]]+1。
●　只使用2張當前貨幣arr[i]情況下的最少張數，即dp[i-1][j-2*arr[i]]+2。
●　只使用3張當前貨幣arr[i]情況下的最少張數，即dp[i-1][j-3*arr[i]]+3。
所有的情況中，最終取張數最小的。
所以 dp[i][j]=min
=>
dp[i][j]=min}
=>
dp[i][j]=min}
又有min =>
dp[i][j-arr[i]]，
所以，最終有：dp[i][j]=min。
如果j-arr[i]<0，即發生越界了，說明arr[i]太大，用一張都會超過錢數j，
令dp[i][j]=dp[i-1][j]即可。具體過程請參看如下**中的mincoins1方法，
整個過程的時間複雜度與額外空間複雜度都為o(n×aim)，n為arr的長度。

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