嘗試對於隱函式方程形如 x2
+2y2
+3z2
+xy+
yz−2
xz=5
(1)
的橢球面，向xo
y 座標平面投影，求所得到的投影輪廓線的方程及所包圍的投影區域的面積(解析解）。
線索：1.對隱函式方程(1)求(x
,y,z
) 點處的梯度，得到的是該點處橢球面的切平面法向量。(2
x+y−
2z,x
+4y+
z,−2
x+y+
6z)t
2.橢球面上投影為投影區域輪廓線的點處切平面的法向量跟投影方向向量剛好是正交的。xo
y 平面的單位法向量(0
,0,1
)t，從而投影為投影區域輪廓線的橢球面上的點，滿足：−2
x+y+
6z=0
(2)
從而得到聯立 (1
),(2
) 的方程組。容易消去
z 得到投影輪廓線所在投影柱面的方程，這個方程也是xo
y平面上的投影區域輪廓線方程：60=
8x2+
23y2−
16xy(3)
=ρcost,y
=ρsint
,，代入(3
) 可以得到橢圓輪廓線的極座標方程：ρ(
t)=2
15−−√
23sin2t
+8cos2t+
16sin
tcost−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
√t∈[
0,2π
](4)
使用green定理可以求出投影區域的面積30−
−√π
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