演算法導論（1）

分治策略

1.遞迴式：

用來描述遞迴求解的分治演算法的執行時間。求解遞迴式有三種方法：

（1）代入法，猜測乙個界，然後用數學歸納法證明這個界是正確的。

（2）遞迴樹法，將遞迴式轉換為一棵樹，利用遞迴式，將每層的代價以及深度都表示出來，節點代表不同層次產生的代價，最後利用邊界和技術求解。遞迴樹法常用來生成乙個好的猜測，然後利用代入法驗證是否正確。

（3）主方法。

求解遞迴式時，我們常忽略向下取整、向上取整以及邊界條件。

2.最大子陣列問題

即求乙個陣列中最大的非空連續子陣列，只有當陣列中包含負值時，此問題才有意義。

問題分解：將陣列分為兩段，最大子陣列所處位置必然是以下三種情況之一：

（1）完全位於子陣列a[low..mid]中

（2）完全位於子陣列a[mid..high]中

（3）跨越中點。

對於前兩種情況，是與原問題相同的子問題，可以遞迴呼叫處理，重點處理第三種情況，然後在三種情況中選最大的。第三種情況也比較好處理，因為有了限制，必須過中點，因此可從中點分別向兩邊找和最大的邊界，即為跨越中點的最大陣列，偽**為：

find-max-crossing-subarray(a,low,mid,high)
left-sum=-∞
sum=0
for i=mid downto low
sum=sum+a[i]
ifsum>left-sum
left-sum=sum
max-left=i
right-sum=-∞
sum=0
for j=mid+1
to high
sum=sum+a[j]
ifsum>right-sum
right-sum=sum
max-right=j
return (max-left,max-right,left-sum+right-sum)
find-maximum-subarray(a,low,high)
if high==low
return(low,high,a[low])
else
mid=(low+high)/2
(left-low,left-high,left-sum)=
find-maximum-subarray(a,low,mid)
(right-low,right-high,right-sum)=
find-maximum-subarray(a,mid+1,high)
(cross -low, cross -high, cross -sum)=
find-max-crossing-subarray(a,low,mid,high)
if left-sum>=right-sum
and left-sum>=cross-sum
return left-low,left-high,left-sum
if right-sum>=left-sum
andright-sum>=cross-sum
return
right-low,right-high,right-sum
if cross-sum>=right-sum
and cross-sum>=left-sum
return cross -low, cross -high, cross –sum

簡化掉一些運算步驟，最大陣列執行時間的遞迴式為：

t(n)=2t(n/2)+θ(n)

3.矩陣乘法的strassen演算法

直接遞迴是將矩陣分為4個矩陣分別進行乘法計算，然後進行相加。strassen演算法是利用數學技巧將乘法轉變為更多的加法計算，從而降低了執行時間，對分治演算法應用感覺比較簡單。

4.主方法求解遞迴式

主定理：令a≥1和b>1是常數，f(n)是乙個函式，t(n)是定義在非負整數上的遞迴式：

t(n)=at(n/b)+f(n)

其中我們將n/b解釋為，那麼t(n)有如下漸進界：

（1）若對某個常數ε>0有f(n)=o(n^log_b⁡〖a-ε〗 )，則t(n)=θ(n^log_b⁡a )。

（2）若f(n)=o(n^log_b⁡a )，則t(n)=θ(n^log_b⁡a log⁡n)。

（3）若對某個常數ε>0有f(n)=o(n^log_b⁡〖a+ε〗 )，且對某個常數c<1和所有足夠大的n有af(n/b)≤cf(n)，則t(n)=θ(f(n))。

就是將f(n)與n^log_b⁡a 做比較，如果前者小，並且是多項式意義上小（漸進小於n^log_b⁡a ，相差乙個因子），則對應情況1，如果前者大，並且多項式意義上大，則對應情況3，如果二者相當，則對應情況2。三種情況之間有空隙，並沒有覆蓋所有，因此也有不能採用主方法的情況。

演算法導論（1）

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演算法導論筆記 1

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