如下圖正方形，邊長是1cm，每邊被四等分，求一共分出了多少個正方形。
經過手工數：
邊長為1/4的正方形：16
邊長為1/2的正方形：9
邊長為3/4的正方形：4
邊長為1的正方形：1
所以一共是： 30個正方形。
當上述的正方形，邊長被3等分的情況又如何：
還是手動數：
邊長為1/3的正方形：9
邊長為2/3的正方形：4
邊長為1的正方形：1
一共是：14個正方形
當上述的正方形，邊長被5等分的情況如何：
經過手工數：
邊長為1/5的正方形：25
邊長為2/5的正方形：16
邊長為3/5的正方形：9
邊長為4/5的正方形：4
邊長為1的正方形：1
所以一共是： 55個正方形。
綜合來看，有這樣的規律
邊長為1/5的正方形：25 = 52
邊長為2/5的正方形：16 = 42
邊長為3/5的正方形： 9 =32
邊長為4/5的正方形： 4 =22
邊長為1的正方形：1 = 12
所以一共為，12
+22+
32+4
2+52
=55
所以當把等分數，擴充套件到n的時候。公式如下： 12
+22+
32+.
..+n
2=∑k
=1nk
2=n(
n+1)
(2n+
1)/6
(1)
如果要求所有的正方形的周長,這裡把n等分之後的邊長設為1：12
∗n∗4
+22∗
(n−1
)∗4+
32(n
−2)∗
4+..
.+n2
∗1∗4
=∑k=
1n4k
2(n+
1−k)
(2)
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