求N內的所有素數

1、素數及相關

素數，又稱質數，在乙個大於1的自然數中，除了1和此整數自身之外，不能被其他自然數整除的數。

比1大但不是素數的數稱為合數。

1和0既不是素數，也不是合數。

算術基本定理證明每個大於1的正整數都可以寫成素數的乘積，並且這種乘積的形式是唯一的。

2、試除法求素數

演算法描述：根據素數的定義可知，不能被1和自身外的整數整除的數為素數。所以，我們可以得知，判斷乙個素數是否為素數只要看它是否能被2~sqrt(i)間的數整數即可。而求n內所有素數則是迴圈重複上述過程。

c語言實現如下所示。

#include #include #include #include //試除法
#define num 10000
int test_prime(int n)
}if(j > sqrt(i))
}free(num);
return count;
}int main()

測試結果如下所示（測試在vc6.0下進行）。

從上面可以看出，當資料很大時，時間消耗增長的比較快。

3、試除法的優化方案

仔細研究試除法，可以發現以下幾個問題：

1> 在迴圈條件中重複呼叫了sqrt(i)，這顯然是比較浪費時間的；

2> 判斷素數，真的需要拿2-sqrt(i)間的所有整數去除嗎？我們知道，合數都可以分解成若干質數，所以，只要2-sqrt(i)間的質數不能整除i即可；

c語言實現如下所示。

//求n內的所有素數
#include #include #include #include //試除法
#define num 1000000
int test_prime(int n)
for(j = 0; j < stop; j++)
}if(j == stop)
}free(num);
return count;
}int main()

測試結果如下所示。

相對於優化前的演算法，時間提供了很多。特別是在時間增長曲線的幅度變小了，n值越大，優化後的演算法比優化後的演算法效率更高。

4、合數過濾篩選法

演算法描述：由質數的定義可以知道，質數n不能被2-（n-1）間的任何整數整除；反過來看，只要能被2-（n-1)間的任何整數整除的n，都不是素數。所以，我們採用排除法：就是對n以內的所有數，只要逐個去除值為2-（n-1)的倍數的數，剩下的就是素數。

c語言實現如下所示。

//合併篩選法
#include #include #include #include //試除法
#define num 10000
int test_prime(int n)
//以2-(n-1)為因子過濾合數
for(i = 2; i <= n-1; i++)
}//統計素數個數
for( i = 2; i<= n; i++)
}free(num);
return count;
}int main()

測試結果如下所示。

上述程式好多地方採用了比較低效的做法，為了與後文的優化作比較，這也是像我一樣的初學者通常採用的版本，因此，要學會優化。

5、合併篩選法優化方案

上述演算法存在的問題是：

1> 在外層迴圈，需要一直執行到n-1嘛？不要，因為n/2-（n-1）之間的數顯然不能整除出n；

2> 在內層迴圈中重複使用i*j顯然是低效的，考慮到計算機中加減運算速度比乘除快，可以考慮變乘法為加法；

3> 在迴圈修改flag的過程中，其實有很多數被重複計算若干次，比如6 = 2*3 = 3*2,被重複置零，所以，可以進行避免；

c語言實現如下所示。

//合併篩選法的優化方案
#include #include #include #include #define num 300000
int test_prime(int n)
//從i的2倍開始過濾
for(j = i + i; j <= n;j+=i)
else}}

第一部分紅色，我將原來的奇數和偶數進行判斷，變為了只對奇數進行判斷；

第二部分紅色，我將奇數的倍數為偶數的直接剔除，變成只對倍數為奇數的進行賦值；

以上兩者改變，都基於開始時，已經將偶數剔除。

對num = 300000測試如下所示。

時間僅為7毫秒，比優化前num = 300000時，時間更快。

//合併篩選法的優化方案
#include #include #include #include #include #define num 10000
int test_prime(int n)
num[2] = 1;
num[3] = 1;
num[5] = 1;
num[7] = 1;
num[11] = 1;
num[13] = 1;
// 從17開始過濾，因為2,3,5,7,11,13的倍數早被去掉了 
// 到n/13止的
int stop = n/13;
for (i=17; i <= stop; i++)
// 從i的17倍開始過濾
int step = i*2;
for (j=i*17; j <= n; j+=step)
}// 統計素數個數
for (i=2; i<=n; i++)
}// 釋放記憶體
free(num);
return count;
}int main()

測試結果如下所示。

說實話，這種思想真的很讚，現在的我是無法想到的，感謝作者，讓我有了更廣泛的見識。

7、其他

除了以上幾種演算法外，如拉賓公尺勒素數測試演算法，感覺這個演算法比較難，先好好看看，等弄懂了，然後補上。

通過今天的糾結，對於求素數有了更加深刻的了解和認識，感覺自己還差很多，需要更加的努力。

doforfun_net，給我了很大的啟發，學到了很多。

求N內的所有素數

求N以內的所有素數

篩法求2到n的所有素數

計算n以內的所有素數

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