原碼反碼和補碼

首先說一下機器數和真值：

1、機器數

數在計算機中的二進位制表示形式就稱為機器數。機器數是帶符號的，在計算機用乙個數的最高位存放符號（0為正，1為負），這樣就將數的符號數值化了。

比如，十進位制中的數 +5 ，計算機字長為8bits，轉換成二進位制就是00000101。如果是 -5 ，就是 10000101 。

那麼，這裡的 00000101 和 10000101 就是機器數。

2、真值

因為符號佔據一位，機器數的形式值就不等於真正的數值。例如上面的有符號數 10000101，其最高位1代表負，其真正數值是 -5 而不是形式值133（10000101轉換成十進位制等於133）。所以，為區別起見，帶符號位的機器數對應的真正數值稱機器數的真值。

例：00100001的真值 = 0 0100001 = +33，10100011的真值 = 1 0100011 = -35

再討論一下，各種編碼的用途：

在計算機中表示形式為機器數，計算機只能識別0和1，使用的是二進位制。而在日常生活中人們使用的是十進位制，並且我們用的數值有正負之分。於是在計算機中就用乙個數的最高位存放符號(0為正，1為負)。這就是機器數的原碼了。

有了數值的表示方法就可以對數進行算術運算，但是很快就發現用帶符號位的原碼進行乘除運算時結果正確，而在加減運算的時候就出現了問題，如下：

十進位制　　(1) 10 - (1)10 = (1)10 + (-1)10 = (0)10

二進位制　　(0 0000001)原 + (1 0000001)原 = (1 0000010)原 = ( -2 )　顯然不正確。

因為在兩個正數的加法運算中是沒有問題的，於是就發現問題出現在帶符號位的負數身上。對除符號位外的其餘各位逐位取反就產生了反碼。反碼的取值空間和原碼相同且一一對應。下面是反碼的減法運算：

(1)10 - (1)10 = (1)10 + (-1)10 = (0)10

(0 0000001)反 + (1 1111110)反 = (1 1111111)反 = ( -0 )　有問題。

(1)10 - (2)10 = (1)10 + (-2)10 = (-1)10

(0 0000001)反 + (1 1111101)反 = (11111110)反 = (-1)　正確。

問題出現在(+0)和(-0)上，在人們的計算概念中零是沒有正負之分的。

於是就引入了補碼概念。負數的補碼就是對反碼加一，而正數的補碼不變，正數的原碼反碼補碼是一樣的。在補碼中用(-128)代替了(-0)，這個是人為規定的，所以補碼的表示範圍為：

(-128~0~127)共256個。

注意：(-128)沒有相對應的原碼和反碼， (-128) = (1 0000000) 補碼的加減運算如下：

(1)10 - (1)10 = (1)10 + (-1)10 = (0)10

(0 0000001)補 + (1 1111111)補 = (0 0000000)補 = ( 0 )　正確。

(1)10 - (2)10 = (1)10 + (-2)10 = (-1)10

(00000001)補 + (11111110)補 = (11111111)補 = (-1)　正確。

所以補碼的設計目的是：

⑴ 使符號位能與有效值部分一起參加運算，從而簡化運算規則。補碼機器數中的符號位，並不是強加上去的，是資料本身的自然組成部分，可以正常地參與運算。

⑵ 使減法運算轉換為加法運算，進一步簡化計算機中運算器的線路設計。

所有這些轉換都是在計算機的最底層進行的，而在我們使用的彙編、c等其他高階語言中使用的都是原碼。

原碼 反碼和補碼