給定2n
個行向量a1
,…,a
n,b1
,…,b
n ，需要設計一種替換方案，ai
被bj 替換(i
∈[1,
n],j
∈[n+
1,2n
])，每個
j 只能用一次。要求是，每乙個ai
被對應的bj
替換後，ak
(1≤k
≤n) 間線性無關。並要求方案的字典序最小。
後面提到的a,
b,c 將是n×
n 的矩陣，其中
a 是n個
ai，b
也同理。
首先題目應該是要求了
a 必須是線性無關，不然就輸出不合法（題意交代不清）。
然後對於每個bj
，a中只能有乙個最小集合
s，滿足
s 線性無關，但加入bj
後s將線性相關。
因為若有兩個或以上的集合，不管是否有交集，
a將不會線性無關。
我們將要求出對於每個bj
的相應集合
s ，然後顯然bj
能替換的只能是
s 中的某個ai
。設c×a
=b，則若ct
i,j≠
0 ，則bj
的s中含ai
，道理是因為∑c
i,j×
aj,k
=bi,
k ，而aj
,k,b
i,k 都是行向量。
至於怎麼求
c 呢，我們可以求出
a的逆矩陣a−
1 ，則有c=
b×a−
1 。
建好圖後，要使得字典序最小，我們先跑一次完美匹配，然後列舉每個ai
，強制其選bj
，即把兩個點在匹配中禁止走，然後看原來選bj
的點能否跑出增廣路。
求逆矩陣是n3
的，生成方案也是n3
的。 所以本題是o(
n3) 。
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