題目大意：
welcome to sao ( strange and abnormal online)。這是乙個 vr mmorpg， 含有 n 個關卡。但是，挑戰不同關卡的順序是乙個很大的問題。
有 n – 1 個對於挑戰關卡的限制，諸如第 i 個關卡必須在第 j 個關卡前挑戰， 或者完成了第 k 個關卡才能挑戰第 l 個關卡。並且，如果不考慮限制的方向性， 那麼在這 n – 1 個限制的情況下，任何兩個關卡都存在某種程度的關聯性。即， 我們不能把所有關卡分成兩個非空且不相交的子集，使得這兩個子集之間沒有任 何限制。
對於每個資料，輸出一行乙個整數，為攻克關卡的順序方案個數，mod 1,000,000,007 輸出。
題目翻譯：
發現最後一句話就是說：這是一棵樹形圖。
所以我們現在有了一棵樹，只是邊是有向邊，挑戰的限制就是邊的方向，我們必須把所有指向x0的關卡全部通過，才能通過x0關卡。
其實，所有指向x0的邊就是它的度數，所以可以看出來，
這個題是讓我們求這個樹形圖有多少種拓撲序。
分析：
這個題即使看了題解也是理解了半天。網上題解也不是很多，做法類似。
樹形計數問題，可以用樹形dp，首先我們可以先嘗試定義一維，定義f[i]表示以i為根的子樹的拓撲序有多少種，現在我們需要考慮怎樣將若干個兒子的值轉移到父親上。
發現，如果把兩個兒子的拓撲序，看做是兩個區間，那麼我們做的其實是乙個區間合併的操作。
但是由於邊其實是有向的，（雖然我們是無向邊建樹）實際邊的方向還決定父親，該兒子的真正完全的拓撲序誰在前，誰在後。就是說，要先過了父親，還是先過了兒子。
非常無從下手的感覺。我們需要再定義一維。
於是我們這樣定義：
f[i][j]表示，在以i為根的子樹中，根節點i排在第j位的拓撲序的種類數。（其實所有的拓撲序就是f[i][1-size]）
可以發現，j不同時，方案數一定是獨立的。
現在我們要考慮轉移：
當我們迴圈到x的乙個兒子y的時候，size[x]記錄的是當前x與其前面所有兒子子樹的size和，就是還沒有包括y
那麼前面說了，就是乙個區間合併，我們以x的位置作為斷點考慮合併。
先分類（因為我們無向邊建樹，但是實際上是有向邊。）
①x
這個時候，拓撲序合併後x的排名一定在y的前面。
對於f[x][k]，最終x前面有k-1個元素。可以從f[x][i](1<=i<=min(k,size))和 f[y][j]（j的範圍隨後再確定）轉移過來。轉移之後，區間內共有size[x]+size[y]個數
就是說，我在合併後的拓撲序中，先從之前的f[x][i]中的方案數中拿出若干種，放進大區間裡，再從f[y][j]裡選擇一些方案數，放進大區間裡。所以這裡i一定小於等於k
前k-1個位置，從之前的數中先挑出i-1個位置，有c(k-1,i-1)種選法，
後size[x]+size[y]-k個位置（不算x）， 已經選擇了i-1個數，還剩下size[x]-i個數（x自己不算），有c(size[x]+size[y]-k,size[x]-i)種選法。
再乘上每個選上的集合中自己的變化，也就是f[x][i]自己本身（類似多重集合的排列）
剩下的位置就是f[y][j]的了，不需要再乘組合數，只需乘上f[y][j]就好。
現在我們要確定j的取值範圍：
對於x為了使得y在x的後面，而y之前還能放j-1個數，所以要使得：j-1>=k-i,當然j<=size[y]
所以，j的迴圈範圍是，k-i+1<=j<=size[y]
所以，對於xf[x][k]=(1<=i<=min(k,size[x]))(k-i+1<=j<=size[y]) f[x][i]*c[k-1][i-1]*c[size[x]+size[y]-k][size[x]-i]*f[y][j]
這樣子，發現每次要迴圈一遍j，複雜度是o(n^4)的，直接掛掉。。。
又發現，對於同乙個y，我們好像加的是同一些樹，迴圈的是同一些j。。。
我們把這個式子用乘法分配律提出來一下：
f[x][k]=(1<=i<=min(k,size[x])) f[x][i]*c[k-1][i-1]*c[size[x]+size[y]-k][size[x]-i]*(f[y][k-i+1]+...f[y][size[y]])
所以，加粗部分是可以通過乙個字首合優化處理的，複雜度變成o(1)。
①x>y 即先通過y，再通過x。
其實是同理的。f[x][i](1<=i<=min(k,size))，i的範圍沒有變。
但是由於要保證y在x的前面，j-1個元素，必然不能填滿k-i個位置
所以，j-1=1
所以這裡的狀態轉移方程是：
f[x][k]=(1<=i<=min(k,size[x]))(1<=j<=k-i) f[x][i]*c[k-1][i-1]*c[size[x]+size[y]-k][size[x]-i]*f[y][j]
同理可以乘法分配律，字首和優化。
詳見**：
#include#define ull unsigned long long#define ll long long
using
namespace
std;
const
int n=1000+10
;const
int mod=1e9+7
;int
n,t;
struct
nodebian[
2*n];
inthead[n],cnt;
void add(int x,int y,int
z)ull f[n][n],sumdp[n][n];
ull c[n][n];
intsize[n];
bool
vis[n];
void dfs(int
x)
}f[x][k]=sum;}}
else
//.........y...x
f[x][k]=sum;
}}
size[x]+=size[y];}}
for(int i=1;i<=size[x];i++)//
處理完了x，賦值字首和，以便後續使用
sumdp[x][i]=(sumdp[x][i-1]+f[x][i])%mod;
}void clear()//
清空 }
intmain()
//1000的範圍，組合數打表
cin>>t;
while
(t)
else
//建無向邊，x，y距離是1，表示x}
dfs(1);
ull ans=0
;
for(int i=1;i<=size[1];i++)
//方案數
printf("
%llu\n
",ans);
t--;
}return0;
}
基本思路和**參考shadowice1984，
詳細化了很多。
NOIP 2013 計數問題
題目描述 試計算在區間1到n的所有整數中，數字x 0 x 9 共出現了多少次？例如，在1到11中，即在1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11中，數字1出現了4次。輸入每組輸入資料共1行，包含2個整數n x，之間用乙個空格隔開。資料規模 對於100 的資料，1 n 1,000,000，0 x ...
計數問題（二）
計數問題 二 在上一講中，我們一起研究 列舉法 乘法原理 加法原理 在計數問題中的應用。但是，在實際的問題中，這些方法並不是單獨使用的。往往需要同時應用這幾種方法，這就需要我們搞清題意，根據已知條件，分別使用正確的方法，得到準確的結果。一 閱讀思考 例1.求720這個數約數的個數。分析與解 從1開始...
問題 E 計數問題
時間限制 1 sec 記憶體限制 128 mb 提交 30 解決 22 提交狀態 討論版 命題人 admin 題目描述 試計算在區間 1 到 n 的所有整數中，數字 x 0 x 9 共出現了多少次？例如，在 1 到 11 中，即在 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中，數字 1 出現了...