最短路徑 Dijkstra演算法和Floyd演算法

dijkstra演算法

1.定義概覽

dijkstra(迪傑斯特拉)演算法是典型的單源最短路徑演算法，用於計算乙個節點到其他所有節點的最短路徑。主要特點是以起始點為中心向外層層擴充套件，直到擴充套件到終點為止。dijkstra演算法是很有代表性的最短路徑演算法，在很多專業課程中都作為基本內容有詳細的介紹，如資料結構，圖論，運籌學等等。注意該演算法要求圖中不存在負權邊。

問題描述：在無向圖 g=(v,e) 中，假設每條邊 e[i] 的長度為 w[i]，找到由頂點 v0 到其餘各點的最短路徑。（單源最短路徑）

2.演算法描述

1)演算法思想：設g=(v,e)是乙個帶權有向圖，把圖中頂點集合v分成兩組，第一組為已求出最短路徑的頂點集合（用s表示，初始時s中只有乙個源點，以後每求得一條最短路徑 , 就將加入到集合s中，直到全部頂點都加入到s中，演算法就結束了），第二組為其餘未確定最短路徑的頂點集合（用u表示），按最短路徑長度的遞增次序依次把第二組的頂點加入s中。在加入的過程中，總保持從源點v到s中各頂點的最短路徑長度不大於從源點v到u中任何頂點的最短路徑長度。此外，每個頂點對應乙個距離，s中的頂點的距離就是從v到此頂點的最短路徑長度，u中的頂點的距離，是從v到此頂點只包括s中的頂點為中間頂點的當前最短路徑長度。

2)演算法步驟：

a.初始時，s只包含源點，即s＝，v的距離為0。u包含除v外的其他頂點，即:u=，若v與u中頂點u有邊，則正常有權值，若u不是v的出邊鄰接點，則權值為∞。

b.從u中選取乙個距離v最小的頂點k，把k，加入s中（該選定的距離就是v到k的最短路徑長度）。

c.以k為新考慮的中間點，修改u中各頂點的距離；若從源點v到頂點u的距離（經過頂點k）比原來距離（不經過頂點k）短，則修改頂點u的距離值，修改後的距離值的頂點k的距離加上邊上的權。

d.重複步驟b和c直到所有頂點都包含在s中。

執行動畫過程如下圖

3.演算法**實現：

const
int  maxint = 32767
;const
int maxnum = 10
;int
dist[maxnum];
intprev[maxnum];
inta[maxunm][maxnum];
void dijkstra(int
v0)   　 dist[v0] = 0
;   　 s[v0] = true
; 　　
for(int i=2; i<=n; i++)
s[u] = true
;        　　
for(int j=1; j<=n; j++)
if((!s[j]) && a[u][j]}}
}

4.演算法例項

先給出乙個無向圖

用dijkstra演算法找出以a為起點的單源最短路徑步驟如下

floyd演算法

1.定義概覽

floyd-warshall演算法（floyd-warshall algorithm）是解決任意兩點間的最短路徑的一種演算法，可以正確處理有向圖或負權的最短路徑問題，同時也被用於計算有向圖的傳遞閉包。floyd-warshall演算法的時間複雜度為o(n3)，空間複雜度為o(n2)。

2.演算法描述

1)演算法思想原理：

floyd演算法是乙個經典的動態規劃演算法。用通俗的語言來描述的話，首先我們的目標是尋找從點i到點j的最短路徑。從動態規劃的角度看問題，我們需要為這個目標重新做乙個詮釋（這個詮釋正是動態規劃最富創造力的精華所在）

從任意節點i到任意節點j的最短路徑不外乎2種可能，1是直接從i到j，2是從i經過若干個節點k到j。所以，我們假設dis(i,j)為節點u到節點v的最短路徑的距離，對於每乙個節點k，我們檢查dis(i,k) + dis(k,j) < dis(i,j)是否成立，如果成立，證明從i到k再到j的路徑比i直接到j的路徑短，我們便設定dis(i,j) = dis(i,k) + dis(k,j)，這樣一來，當我們遍歷完所有節點k，dis(i,j)中記錄的便是i到j的最短路徑的距離。

2).演算法描述：

a.從任意一條單邊路徑開始。所有兩點之間的距離是邊的權，如果兩點之間沒有邊相連，則權為無窮大。　　

b.對於每一對頂點 u 和 v，看看是否存在乙個頂點 w 使得從 u 到 w 再到 v 比己知的路徑更短。如果是更新它。

3).floyd演算法過程矩陣的計算----十字交叉法

方法：兩條線，從左上角開始計算一直到右下角如下所示

給出矩陣，其中矩陣a是鄰接矩陣，而矩陣path記錄u,v兩點之間最短路徑所必須經過的點

相應計算方法如下：

最後a3即為所求結果

3.演算法**實現

typedef struct
mgraph; 
void
floyd(mgraph g)
for(k=0;k)
} }

演算法時間複雜度:o(n3)

最短路徑 Dijkstra演算法和Floyd演算法

Dijkstra最短路徑演算法

Dijkstra最短路徑演算法

最短路徑 Dijkstra演算法

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Dijkstra最短路徑演算法

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