約瑟夫環問題

約瑟夫環問題

問題描述：

n個人（編號

1~n)，從1

開始報數，報到

m的退出，剩下的人繼續從

1開始報數。求勝利者的編號。數學解法複雜度：

o(n)。

無論是用鍊錶實現還是用陣列實現都有乙個共同點：要模擬整個遊戲過程，不僅程式寫起來比較煩，而且時間複雜度高達

o(nm)，當n

，m非常大(

例如上百萬，上千萬

)的時候，幾乎是沒有辦法在短時間內出結果的。我們注意到原問題僅僅是要求出最後的勝利者的序號，而不是要讀者模擬整個過程。因此如果要追求效率，就要打破常規，實施一點數學策略。

為了討論方便，先把問題稍微改變一下，並不影響原意：

問題描述：

n個人（編號

0~(n-1))，從0

開始報數，報到

(m-1)

的退出，剩下的人繼續從

0開始報數。求勝利者的編號。

我們知道第乙個人

(編號一定是

m%n-1)

出列之後，剩下的

n-1個人組成了乙個新的約瑟夫環（以編號為

k=m%n

的人開始）:

k   k+1   k+2   ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2

並且從k

開始報0。

現在我們把他們的編號做一下轉換：

k    --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

......

k-2 --> n-2

k-1 --> n-1

變換後就完完全全成為了

(n-1)

個人報數的子問題，假如我們知道這個子問題的解：例如

x是最終的勝利者，那麼根據上面這個表把這個

x變回去不剛好就是

nx'=(x+k)%n

如何知道

(n-1)

個人報數的問題的解？對，只要知道

(n-2)

個人的解就行了。

(n-2)

個人的解呢？當然是先求

(n-3)

的情況----

這顯然就是乙個倒推問題！好了，思路出來了，下面寫遞推公式： 令

f[i]表示i

個人玩遊戲報

m退出最後勝利者的編號，最後的結果自然是

f[n]

遞推公式

f[1]=0;

f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

有了這個公式，我們要做的就是從

1-n順序算出

f[i]

的數值，最後結果是

f[n]

。因為實際生活中編號總是從

1開始，我們輸出

f[n]+1

由於是逐級遞推，不需要儲存每個

f[i]

，程式也是異常簡單：

**如下：

1 #include 2 #include3  int main()

4  14     }
15     system("pause");
16     return 0;
17 }

約瑟夫問題 約瑟夫環

約瑟夫 問題 有時也稱為約瑟夫斯置換，是乙個出現在電腦科學和數學中的問題。在計算機程式設計的演算法中，類似問題又稱為約瑟夫環。又稱 丟手絹問題 據說著名猶太歷史學家 josephus有過以下的故事 在羅馬人占領喬塔帕特後，39 個猶太人與josephus及他的朋友躲到乙個洞中，39個猶太人決定寧願死...

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約瑟夫環問題

約瑟夫環問題 問題描述 編號是1，2，n的n個人按照順時針方向圍坐一圈，每個人持有乙個密碼 正整數 一開始任選乙個正整數作為報數上限值m,從第乙個人開始順時針方向自1開始順序報數，報到m時停止報數。報m的人出列，將他的密碼作為新的m值，從他在順時針方向的下乙個人開始重新從1報數，如此下去，直到所有人...