對連續時間訊號進行週期性取樣得到離散時間序列。
取樣訊號x(
t)加入到取樣開關的輸入端，如果取樣開關每隔時間
t 閉合一次，取樣開關為理想開關，那麼連續訊號f(
t)經過取樣就得到了一連串的脈衝序列x∗
(t) .稱為衝激取樣器(i
理想取樣的數學描述： x(
t)=x
(t)⋅
δ(t)
x∗(kt)=
x(kt
)⋅δ(
t−kt
) x∗
(t)=
∑∞k=
0x(k
t)⋅δ
(t−k
t)(1.1.1)
定義單位衝激取樣序列為：δt
(t)=
∑k=0
∞δ(t
−kt)
衝激取樣器的輸出等於連續時間輸入訊號x(
t)和單位衝激序列δt
(t) 的乘積。可將取樣器視為乙個調製器，輸入訊號是調製訊號，單位衝激序列是載波。 式(
1.1.1
) de 拉普拉斯變換如下： x∗
(s)=
l[x∗
(t)]
=x(0
)l[δ
(0)]
+x(t
)l[δ
(t−t
)]+x
(2t)
l[δ(
t−2t
)]+⋯
所以可以得到 x∗
(s)=
x(0)
+x(t
)e−t
s+x(
2t)e
2ts+
⋯=∑k
=0∞x
(kt)
e−kt
s(1.1.2)
定義z=
ets
即s=1
tlnz
則式(1.1.2
) 變為 x∗
(s)|
s=(1
/t)ln
z=∑k
=0∞x
(kt)
z−k=
x(z)
(1.1.3)
得出結論：衝激取樣訊號x∗
(t) 的拉普拉斯變換和連續訊號x(
t)的z
變換相同只有當取樣頻率大於或等於原始連續訊號頻譜中的最高頻率的兩倍，才能不失真的從取樣訊號中復現出原始訊號。
在滿足夏農取樣定理的條件下，要想不失真的重複取樣器的輸入訊號，還需要一種理想的低通濾波器，因為取樣訊號x∗
(t)的頻譜為： x∗
(jw)
=1t∑
k=−∞
+∞x(
jw+k
∗ws)
(1) x(
jw) 為x(
t)的傅利葉變換，可以看出這是乙個以取樣頻率ws
為週期的週期函式，並且幅值為x(
jw) 的1t
.所以為了能得到x(
t)的完整頻譜需要加入乙個低通濾波器，濾除週期頻譜。保持的頻率類似乙個低通濾波器，但是它的效果不是很好，在ws
2 處存在很大的衰減.
零階保持器可以分解為兩個階躍函式之和：gh
(t)=
1(t)
−1(t
−t)(2)
兩邊取la
plac
e 變換，可得零階保持器的傳遞函式：gh
(s)=
l[gh
(t)]
=1−e
−tss
(3) 以 s
=jw 代入，可得零階保持器的頻率特性 gh
(jw)
=1−e
−jtw
jw=e
jtw2
−e−j
tw2j
w⋅ej
−tw2
繼續變換可得 gh
(jw)
=tsintw2
tw2⋅
ej−t
w2(4)
幅頻特性：|g
h(jw
)|=t
sintw2
tw2
作為外推器，零階保持器的準確性依賴於取樣頻率ωs
.為了使保持器的輸出訊號盡可能接近連續時間訊號，應使取樣週期盡可能短。
結論：如果把et
s 變換成
z ,則衝激取樣的概念使得可通過z變換對包含取樣器和保持電路的離散系統進行分析，通過使用復變數
z，可以利用拉普拉斯變換的相關知識對包含取樣操作的離散系統進行分析。系統變成了連續時間系統。
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