3.2-1 證明：若f(n)和g(n)是單調遞增的函式，則f(n)+g(n)也是單調遞增的，此外，若f(n)和g(n)是非負的，則f(n)*g(n)也是單調遞增的.
證： 1.取任意實數m>n,總有 f(m)+g(m)-[f(n)+g(n)] ≥ 0,故它是單調遞增的.
2.取任意實數m>n，
l 若f(m),f(n),g(m),g(n)都為正，那麼就有
f(m)*g(m)/[f(n)*g(n)] >=1,所以單調遞增
l 若其中乙個為0，情況較難闡述，但是f(n)*g(n)是單調遞增顯而易見。
3.2-2 證明等式(3.16)
證: a^logb(c)
= a^[loga(c)/loga(b)] 換底公式
= [a^loga(c)]^loga(b)
= c^logb(a)
所以有 a^logb(c) = c^logb(a)
3.2-3 證明等式(3.19)，並證明n! = ω(2^n)且
n! = o(n^n)
證：lg(n!) = θ(nlgn)
1. ∵lg(n!) = ∑(i=1~n)lgi <= ∑(i=1~n)lgn = nlgn
∴lg(n!) = o(nlgn)
2. ∑(i=1~n)lgi = ∑(i=1~n/2)lgi + lg(n-i)
= ∑(i=1~n/2)lgi*(n-i) > ∑(i=1~n/2)lg(n-1)
= n*lg(n-1)/2
所以 lg(n!) = θ(nlgn)
lim(n->∞) 2^n / n! = 0
同理lim(n->∞)n!/n^n = 0
所以n! = ω(2^n)
n! = o(n^n)
定義ceil(x) = x的向上取整，floor(x) = x 的向下取整
*3.2-4函式ceil(lgn)！多項式有界嗎？函式ceil(lglgn)! 有界嗎？
證：要證明ceil(lgn)!多項式有界，只需證明lg[ceil(lgn)!]=o（lgn)即可。
lg[ceil(lgn)!] = θ(ceil(lgn)*lg[ceil(lgn)]
= θ(lgn*lglgn)
= ω(lgn)
所以前者多項式無界。
lg[ceil(lglgn)!] = θ(lglgn*lglglgn)
= o[(lglgn)^2]
= o[lg^2(lg)n]
= o(lgn)
lg[ceil(lglgn)!] = o(lgn)蘊含 lg[ceil(lglgn)!] = o(lgn)，
所以後者多項式有界。
*3.2-5如下兩個函式中，哪乙個漸近更大些： lg(lg*n)還是 lg*(lgn)
lg*(lgn) = lg*n - 1
顯然漸近時，lg*n - 1 > lg(lg*n)
所以 lg*(lgn)更大些
3.2-6證明：**分割率φ及其共軛數 `φ都滿足方程x^2 = x + 1
這個代入就ok了，略
3.2-7 用歸納法證明:第i個斐波拉契數滿足
fi = (φ^i - `φ^i) / √5
其中φ是**分割率，且`φ是其共軛數
證： 1.當i = 1 時，f1 = 1 = (φ - `φ) / √5
2. 設i = k-1,k-2時成立，即
fk-1 = (φ^(k-1) - `φ^(k-1)) / √5
fk-2 = (φ^(k-2) - `φ^(k-2)) / √5
fk = fk-1 + fk = (φ^(k) - `φ^(k)) / √5 得證
3.2-8 證明:klnk = θ(n) 蘊涵著 k = θ（n/lnn)
證： 此證明需要用到θ的自反性
∵n = θ(k*lnk)
∴n/lnn = θ[k/lnk * ln(k/lnk)]
= θ[k - k/ln^2(k)]
= θ(k) 得證
演算法導論 第三章 函式的增長
漸近記號 1 漸近上界記號o 大寫o 含義 漸近地給出了乙個函式在常量因子內的上界 2 漸進下界記號 大寫 含義 漸進的給出乙個函式在常量因子的下界 漸進緊確界記號 含義 漸進的給出了乙個函式的上界和下界，eg 形式證明 n n 2 3 n n n 非漸進緊確上界記號o 小寫0 如果f n o g ...
演算法導論第三章函式的增長問題研究
演算法導論3.2 5 lg lg n 與lg lgn 哪個漸近更大些？先看lg n怎麼定義的。lg n min 假設乙個比宇宙原子總數目10 80還要大的數2 65536.根據多重對數函式定義知道 當i 1時，第一次lg得 lg2 65536 65536 書中規定log2 lg 當i 2時，第二次l...
《演算法導論》筆記系列之第三章函式的增長
第三章的開頭提出了三個記號來表示函式的漸近緊確界。和 記號 在每個部分，標出的n0的值是最小的可能值，任何更大的值也將有效。a 記號限制乙個函式在常量因子內。如果存在正常量n0 c1和c2，使得在no及其右邊，f n 的值總位於c1g n 和c2g n 之間或等於它們，那麼記f n g n b 記號...