程式設計珠璣取樣總結

問題描述：程式的輸入包含兩個整數m和n，其中m小於n。輸出是0~n-1範圍內的m個隨機整數，要求：每個數選擇出現的概率相等，且按序輸出。

問題中最重要的要求是概率相同。假設m=2,n=5,那麼每個數都應該以2/5的概率被選中，直觀的會想到用這樣的**實現：

if((rand()%5)<2)

然而這樣做是不對的，程式設計珠璣12章對這個問題進行了詳細的介紹。本文於是總結了程式設計珠璣中等概率取樣問題的幾種解決方法，以便以後快速回憶。

首先來分析上面那行**的問題。在我們對數字0-4之間做選擇時，首先要對0做出選擇，之後就不能用同樣的概率來選擇數字1；因為若是已經選擇了數字0，選1的概率應為1/4，沒選0，選1的概率為2/4。在這樣的選擇方案下才能保證數字1也是2/5被選中的概率： p(

1)=(

2/5∗

1/4)

+(3/

5∗2/

4)=2

可以看出，我們需要維持乙個變數select來表示還需要選取數的數目，在remaining中數中選出select個的數，我們就以select/remaining 的概率選取下乙個數。實現**如下：

void genknuth(int m,int n)
}

knuth的《計算機程式設計藝術》的第二卷也有類似的**。

上述方法的執行時間正比於n，若是m遠小於n的話，或許用一種時間複雜都跟m相關的演算法也還不錯。

一種方法是在乙個初始為空的集合裡面插入隨機數，直到個數足夠。每次插入乙個數時判斷是否已經在集合裡面，不在的話插入；在的話繼續返回下乙個隨機數。這樣也能保證每個數被插入到集合中的概率是一樣的，都為m/n。

程式設計珠璣中用了set資料結構，其不儲存重複的元素，同時輸出也能保證相對的順序。**如下：

void gensets(int m,int n)

每次插入操作耗時o(logm)，那麼總時間複雜都為o(mlogm).

書中還講到了一種方法是把包含整數 0至n-1的陣列順序打亂，然後把m個元素排序輸出。如下：

for
i=[0,n)
swap(i,randint(i,n-i))

進一步考慮，我們可以只把陣列中的前m個數的打亂，然後排序，這樣也是需要o(mlgm)的時間複雜度，但是同時需要o(n)的空間複雜度（用來儲存n個數）。

方法2中生成的很多隨機數都要丟掉，因為他們之前已經存在於集合中了，當m接近於n的時候尤為明顯。當然我們可以改變想法，先生成n-m個隨機數，然後再輸出不再樣本中整數；但是m若是逼近與n/2，仍然不可避免要丟掉大量的隨機數。

珠璣習題12.9講述了乙個很巧妙的演算法來解決上述的問題，由robertfloyd提出。

實現**如下：

void genfloyd(int m,int n)
}

這個演算法保證了只生成m次隨機數，每次都可以講乙個新的隨機數加入到集合中。

程式設計珠璣 取樣總結