等概率隨機排列陣列（洗牌演算法）

又是一道跟概率相關的簡單問題。話說我的概率學的太差了，趁這個機會也從頭開始補習一下。

問題描述：假設有乙個陣列，包含n個元素。現在要重新排列這些元素，要求每個元素被放到任何乙個位置的概率都相等（即1/n），並且直接在陣列上重排（in place），不要生成新的陣列。用o(n) 時間、o(1)輔助空間。

演算法是非常簡單了，當然在給出演算法的同時，我們也要證明概率滿足題目要求。

先想想如果可以開闢另外一塊長度為n的輔助空間時該怎麼處理，顯然只要對n個元素做n次（不放回的）隨機抽取就可以了。先從n個元素中任選乙個，放入新空間的第乙個位置，然後再從剩下的n-1個元素中任選乙個，放入第二個位置，依此類推。

按照同樣的方法，但這次不開闢新的儲存空間。第一次被選中的元素就要放入這個陣列的第乙個位置，但這個位置原來已經有別的（也可能就是這個）元素了，這時候只要把原來的元素跟被選中的元素互換一下就可以了。很容易就避免了輔助空間。

用python來寫一段簡單的程式描述這個演算法：

123

4567

from
random
import
random
defshuffle(li
):rand
=random
()forxin
xrange
(len(li
)-1,
0,-1
):# 逆序遍歷liy=
rand
.randint(0
,x)# 從剩餘資料中隨機選取乙個li[
x],li[
y]=li
[y],li[x
]# 將隨機選取的元素與當前位置元素互換

主要的**僅僅三行而已，淺顯易懂。

來計算一下概率。如果某個元素被放入第i（1≤

i≤n

）個位置，就必須是在前i - 1次選取中都沒有選到它，並且第i次選取是恰好選中它。其概率為：pi

=n−1

n×n−

2n−1

×⋯×n

−i+1

n−i+

2×1n

−i+1

=1n

可見任何元素出現在任何位置的概率都是相等的。

實際上python使用者一定知道，在random類中就有現成的shuffle方法，處理方法與我上面的程式是一樣的。順便也貼在這裡學習一下。以下**來自於 python 2.5 lib\random.py：

250

251252

253254

255256

257258

259260

261262

def
shuffle
(self,x
,random
=none
,int
=int
):"""x, random=random.random -> shuffle list x in place; return none.
optional arg random is a 0-argument function returning a random
float in [0.0, 1.0); by default, the standard random.random.
"""if
random
isnone
:random
=self
.random
fori
inreversed
(xrange(1
,len(x
))):
# pick an element in x[:i+1] with which to exchange x[i]j=
int(
random()*
(i+1
))x[i
],x[j
]=x[
j],x[
i]

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