Python 實現遞迴演算法

1、遞迴的定義

遞迴就是子程式（或函式）直接呼叫自己或通過一系列呼叫語句間接呼叫自己，是一種描述問題和解決問題的基本方法。

遞迴常與分治思想同時使用，能產生許多高校的演算法。遞迴常用來解決結構相似的問題。所謂結構相似，是指構成原問題的子問題與原問題在結構上相似，可以用類似的方法解決。具體地，整個問題的解決，可以分為兩部分：第一部分是一些特殊情況，有直接的解法；第二部分與原問題相似，但比原問題的規模小，並且依賴第一部分的結果。。實際上，遞迴是把乙個不能或不好解決的大問題轉化成乙個或幾個小問題，再把這些小問題進一步分解成更小的小問題，直至每個小問題都可以直接解決。因此，遞迴有兩個基本要素：

（1）邊界條件：確定遞迴到何時終止，也稱為遞迴出口。

（2）遞迴模式：大問題是如何分解為小問題的，也稱為遞迴體。

遞迴函式只有具備了這兩個要素，才能在有限次計算後得出結果。

2、遞迴演算法例項

2.1求乙個整數n的階乘

階乘的定義如下圖：

根據階乘的遞迴定義，很容易就能寫出求階乘的遞迴演算法。

def
factorial
(n) :
if n == 1 :
return
1#遞迴結束
return n * factorial(n - 1)  #問題規模減1，遞迴呼叫

2.2漢諾塔

漢諾塔問題是遞迴函式的經典應用，它來自乙個古老傳說：在世界剛被建立的時候有一座鑽石寶塔a，其上有64個金蝶。所有碟子按從大到小的次序從塔底堆放至塔頂。緊挨著這座塔有另外兩個鑽石寶塔b和c。從世界創始之日起，波羅門的牧師就一直在試圖把塔a上的碟子移動到c上去，其間借助於塔b的幫助。每次只能移動乙個碟子，任何時候都不能把乙個碟子放在比它小的碟子上面。當牧師們完成這個任務時，世界末日也就到了。

對於漢諾塔問題的求解，可以通過以下3步實現：

（1）將塔a上的n -1個碟子借助c塔先移動到b塔上；

（2）把塔a上剩下的乙個碟子移動到塔c上；

（3）將n - 1個碟子從b塔借助塔a移動到塔c上。

很顯然，這是乙個遞迴求解的過程，假設碟子數n=3時，漢諾塔問題的求解過程如下圖所示：

漢諾塔的遞迴演算法（python實現）：

def
hanoi
(n, a, b, c) :
if (n == 1) :
move(a, c)   #表示只有乙個碟子時，直接從a塔移動到c塔
else :
hanoi(n - 1, a, c, b)  #將剩下的a塔上的n-1借助c塔移動到b塔
move(a, c)              #將a上最後乙個直接移動到c塔上
hanoi(n - 1, b, a, c)  #將b塔上的n-1個碟子借助a塔移動到c塔

遞迴函式的執行軌跡借助漢諾塔這個例項，來講解一下遞迴函式的執行軌跡。在遞迴函式中，呼叫函式和被呼叫函式都是同乙個函式，需要注意的是函式的呼叫層次，如果把呼叫遞迴函式的主函式稱為第0層，進入函式後，首次遞迴呼叫自身稱為第1層呼叫；從第i層遞迴呼叫自身稱為第i+1層。反之退出i+1層呼叫應該返回第i層。下圖是n=3時漢諾塔演算法的執行軌跡，有向弧上的數字表示遞迴呼叫和返回的執行順序。

漢諾塔的遞迴演算法**實現：

#coding=utf-8
i = 1
defmove
(n, mfrom, mto) :
global i
print
"第%d步:將%d號盤子從%s -> %s" %(i, n, mfrom, mto)
i += 1
defhanoi
(n, a, b, c) :
if n == 1 :
move(1, a, c)
else :
hanoi(n - 1, a, c, b) 
move(n, a, c)    
hanoi(n - 1, b, a, c)
#********************程式入口**********************
try :
n = int(raw_input("please input a integer :"))
print
"移動步驟如下："
hanoi(n, 'a', 'b', 'c')
except valueerror:
print
"please input a integer n(n > 0)!"

執行結果：

2.3 斐波拉契數列

斐波拉契數列，是這樣的乙個數列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……。

斐波拉契數列的核心思想是:

從第三項起，每一項都等於前兩項的和，即f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) (n >= 2)

並且規定f(0) = 0，f(1) = 1

要求:利用遞迴演算法獲得指定項的斐波拉契數列。

#!/usr/bin/python
#coding=utf-8
deffib_list
(n) :
if n == 1
or n == 2 :
return
1else :
m = fib_list(n - 1) + fib_list(n - 2)
return m
print
"**********請輸入要列印的斐波拉契數列項數n的值***********"
try :
n = int(raw_input("enter:"))
except valueerror :
print
"請輸入乙個整數！"
exit()
list2 = [0]
tmp = 1
while(tmp <= n):
tmp += 1
print list2

執行結果：

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