2.3 - 7
其實這道星號題的思路已經在前面幾個習題中給了提示。
思路是先用merge sort對陣列公升序排列，然後進行binary search即可, 時間複雜度為\t(
n)=θ
(nlogn
+logn)
=θ(n
logn)
演算法分析如下：
設二叉搜尋下邊界為lo
w ,上邊界為hi
gh,中間index為mi
d 。
則每次迭代後，待搜尋區域為ss
orte
d[lo
w...
high
] （loop invariant）。
針對loop invariant, 對演算法的三個階段進行分析驗證：
1. initialization: after merge-sort ss
orte
d[lo
w...
high
]，lo
w=1，
high
=s.l
engt
h 此時loop invariant為待搜尋區域，初始條件正確。
2. maintenance: mi
d=⌊(
low+
high
)/2⌋
，每次迭代後，如果未滿足終止條件，則有兩種情況：
if s[m
id]+
s[mi
d+1]
low=
mid+
1 else if s[
mid]
+s[m
id−1
]>x:
high
=mid
−1迭代後均滿足loop invariant保持正確。
termination:
終止條件有兩種情況，一是找到了su
m=x , 二是沒找到。
if s[m
id]+
s[mi
d+1]
==x||
s[mi
d]+s
[mid
−1]==
x return yes
if low
>hi
ghreturn nil
感覺書上介紹的initialize-maintence-terminate分析方法很好用，用這個方法分析迭代演算法感覺條理很清晰，邊界問題也容易想清楚。根據分析結果來寫**感覺6了很多。
思考題 2-1
這題是將merge sort和insert sort綜合起來了，題設是把陣列分成k長度的sublist時開始用insert sort排序，最後merge。a.b.c很簡單，純粹數學題而已，這裡想記錄一下我自己對d小問的想法，問題如下：
d. how should we choose k in practice?
自己實在資質愚鈍，一開始沒什麼想法，只是感覺應該選乙個小一點的k。後來上網查，看到有人說選insert sort排序時間比merge sort排序時間小的最大k值即可。
乍看感覺很有道理，似乎取了乙個最優值，但是細想，覺得不對。從降低running time的角度出發，k值的選取應該是讓running time最小。因此，直覺上，感覺k值的選取應該是insert sort排序這個sublist時能夠比merge sort省最多的時間，也就是盡量選取靠近kt
max|
t=ti
nser
t−tm
erge
的k值. 這個k值不會是insert sort比merge sort時間小的最大k值，因為此時insert sort和merge sort所花費的時間已經相差無幾。
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