線段樹基礎

寫得不錯啊。。。

前段時間寫了篇「搞懂樹狀陣列」，如果說樹狀陣列是優雅的，那麼線段樹就是萬能的。有句話就叫：樹狀陣列能做的線段樹都能做，但是樹狀陣列能做的堅決用樹狀陣列！因為線段樹本來的內容狠豐富的，主要有單點跟新、區間跟新，最值詢問、區間詢問…………反正就是對於區間進行的動態跟新詢問都能較高效的完成。

對於初學者，一定要明白一點：線段樹就是一種可以較高效的動態的對區間進行跟新查詢！至於它具體能幹哪些事取決於你樹里所儲存的資訊量！不要一開始就想要什麼通用的模板，模板可能有，但是如果你不理解它，恐怕也用的不順心。其實，線段樹的實現本省**量不是很大，複雜性也不是很高，完全可以每次根據題目具體的需求寫出來。當然，前提是自己理解了。先來看一幅圖：

它就是一顆完全二叉樹，根節點是乙個大區間，兩個兒子節點是根節點區間一分為二。當然，最重要的東西圖中並沒有體現出來，它只是描述了節點之間的邏輯關係，而我沒實現它的時候一般都要為節點（即所表示的區間）附加點屬性：最大值、最小值、和。。。。

現在我們就要了解如何實現它了，如果每個節點只有乙個簡單的附加屬性，完全可以用陣列實現。我們對上面的節點從上到下、從左到右一次標號1、2、……、m，可以看出節點1的兩個兒子分別是2和3,以此類推節點i的左右兒子分別是2*i和2*i+1，用位運算可以表示為i<<1和i<<1|1，所以我們可以用乙個陣列tree來表示這個附加屬性，而下表則是節點的標號。那麼，這個陣列申請多大合適呢？根據樹的理論，如果區間範圍是[0,n-1]，則m=2*n+1，這個很容易驗證，自己可以試試。接下來就要考慮有哪些操作了，一般來說有三個操作：建樹、更新、查詢。

比如對於單點更新，查詢某個區間的最大值，可以用下面的**簡單實現

[cpp]view plain

copy

print?

inttree[2*max_n+1];

/*建立以k為根節點[l,h]為操作區間的線段樹*/

void

built_tree(

intk,

intl,

inth)

built_tree(k <

} /*在根節點為k，[l,h]為操作區間的線段樹里對id處的值更新為key*/

intupdate_tree(

intk,

intl,

inth,

intid,

intkey)

if(id

update(k*2, l, (l + h)/2, id, key) ;

else

update(k*2 + 1, (l + h)/2 + 1, h, id, key);

tree[k] = max(tree[k*2], tree[2*k + 1]);

} /*在根節點為k，[l,h]為操作區間的線段樹里查詢區間[beg,end]的最大值*/

intread_tree(

intk,

intl,

inth,

intbeg,

intend)

用的是遞迴實現的，複雜度都是o(lgn)，可能有人就疑問了，為什麼用線段樹就能節省時間呢？其實也不能算節省，它把時間平均了，避免了「尖端分子」影響整個效能！比如，如果我們不用線段樹，用一段方法實現的話，那麼更新操作其實是o(1)的複雜度，而查詢和建樹就變成了o(n)了。還有，線段樹也多犧牲了點記憶體，這就是有得必有失嘛～

上面的例子是每個節點只有乙個屬性的情況，加入現在有多個屬性呢？那麼tree的值表示什麼呢？除非你再定義乙個tree_other。其實更好的寫法是用鍊錶實現，這樣每個煉表裡就可以包含多個屬性了，我們把上面的例子用鍊錶再寫一下，目的是為了搞明白，而不是給大家提供模板！因為給的**我也是現場寫的。

[cpp]view plain

copy

print?

typedef

struct

_treetree;

tree *init_tree(int

l, int

else

return

treep;

} void

update(tree *root,

intid,

intkey)

if(id h + root->l)/2) else

root->mmax = max(root->left->mmax, root->right->mmax);

} int

read(tree *root,

intbeg,

intend)

其實，寫法都差不多，記住：不是為了給模板，只是為了幫助理解，因為寫的確實不是很養眼。。。

其實，如果把上面的都理解的差不多的話，線段樹算基本掌握了吧。但是，還有個東西，有必要提一下：在進行區間更新的時候，有個懶操作的技巧。解釋一下：就是每個節點增加了乙個屬性，用來記錄這個對應的區間是否被更新過（或更新過多少）。這樣，在每次更新操作的時候不用馬上一直遞迴更新下去，只有等到下次更新或查詢的時候才順帶的更新到下一級。這個實現的話，就是在煉表裡增加乙個屬性，每次更新或查詢的時候都要判斷是否被標記（即之前這個區間是否被更新過），如果標記有效，則把它的兩個兒子節點對應的區間也標記了。這其實也是一種平均的作用，避免「極端分子」。

差不多了吧，就寫到這吧，有點感冒不舒服，以後如果想到什麼再新增吧～

線段樹基礎

線段樹 01 線段樹基礎

線段樹 基礎

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