計算機為什麼要用反碼儲存整型
這得從二進位制的原碼說起：
如果以最高位為符號位，二進位制原碼最大為0111111111111111=2的15次方減1=32767
最小為1111111111111111=-2的15次方減1=-32767
此時0有兩種表示方法，即正0和負0：0000000000000000=1000000000000000=0
所以，二進位制原碼表示時，範圍是-32767～-0和0～32767，因為有兩個零的存在，所以不同的數值個數一共只有2的16次方減1個，比16位二進位制能夠提供的2的16次方個編碼少1個。
但是計算機中採用二進位制補碼儲存資料，即正數編碼不變，從0000000000000000到0111111111111111依舊表示0到32767，而負數需要把除符號位以後的部分取反加1，即-32767的補碼為1000000000000001。
到此，再來看原碼的正0和負0：0000000000000000和1000000000000000，補碼表示中，前者的補碼還是0000000000000000，後者經過非符號位取反加1後，同樣變成了0000000000000000，也就是正0和負0在補碼系統中的編碼是一樣的。但是，我們知道，16位二進位制數可以表示2的16次方個編碼，而在補碼中零的編碼只有乙個，也就是補碼中會比原碼多乙個編碼出來，這個編碼就是1000000000000000，因為任何乙個原碼都不可能在轉成補碼時變成1000000000000000。所以，人為規定1000000000000000這個補碼編碼為-32768。
所以，補碼系統中，範圍是-23768～32767。
因此，實際上，二進位制的最小數確實是1111111111111111，只是二進位制補碼的最小值才是1000000000000000，而補碼的1111111111111111是二進位制值的-1。
補碼原碼、反碼、補碼
數值在計算機中表示形式為機器數,計算機只能識別0和1,使用的是二進位制,而在日常生活中人們使用的是十進位制,"正如亞里斯多德早就指出的那樣,今天十進位制的廣泛採用,只不過我們絕大多數人生來具有10個手指頭這個解剖學事實的結果.儘管在歷史上手指計數(5,10進製)的實踐要比二或三進製計數出現的晚."(摘自《數學發展史》有空大家可以看看哦~,很有意思的).為了能方便的與二進位制轉換,就使用了十六進製制(2 4)和八進位制(23).下面進入正題.(-127~-0 +0~127)共256個.
有了數值的表示方法就可以對數進行算術運算.但是很快就發現用帶符號位的原碼進行乘除運算時結果正確,而在加減運算的時候就出現了問題,如下: 假設字長為8bits
( 1 ) 10- ( 1 )10 = ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10
(00000001)原 + (10000001)原 = (10000010)原 = ( -2 ) 顯然不正確.
因為在兩個整數的加法運算中是沒有問題的,於是就發現問題出現在帶符號位的負數身上,對除符號位外的其餘各位逐位取反就產生了反碼.反碼的取值空間和原碼相同且一一對應. 下面是反碼的減法運算:
( 1 )10 - ( 1 ) 10= ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10= ( 0 )10
(00000001) 反+ (11111110)反 = (11111111)反 = ( -0 ) 有問題.
( 1 )10 - ( 2)10 = ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10
(00000001) 反+ (11111101)反 = (11111110)反 = ( -1 ) 正確
問題出現在(+0)和(-0)上,在人們的計算概念中零是沒有正負之分的.(印度人首先將零作為標記並放入運算之中,包含有零號的印度數學和十進位制計數對人類文明的貢獻極大).
於是就引入了補碼概念. 負數的補碼就是對反碼加一,而正數不變,正數的原碼反碼補碼是一樣的.在補碼中用(-128)代替了(-0),所以補碼的表示範圍為:
(-128~0~127)共256個.
注意:(-128)沒有相對應的原碼和反碼, (-128) = (10000000) 補碼的加減運算如下:
( 1 ) 10- ( 1 ) 10= ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10
(00000001)補 + (11111111)補 = (00000000)補 = ( 0 ) 正確
( 1 ) 10- ( 2) 10= ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10
(00000001) 補+ (11111110) 補= (11111111)補 = ( -1 ) 正確
所以補碼的設計目的是:
⑴使符號位能與有效值部分一起參加運算,從而簡化運算規則.所有這些轉換都是在計算機的最底層進行的，而在我們使用的彙編、c等其他高階語言中使用的都是原碼。看了上面這些大家應該對原碼、反碼、補碼有了新的認識了吧！
有網友對此做了進一步的總結：
本人大致總結一下：
1、在計算機系統中，數值一律用補碼來表示（儲存）。
主要原因：使用補碼，可以將符號位和其它位統一處理；同時，減法也可按加法來處理。另外，兩個用補碼表示的數相加時，如果最高位（符號位）有進製，則進製被捨棄。
2、補碼與原碼的轉換過程幾乎是相同的。
數值的補碼表示也分兩種情況：
（1）正數的補碼：與原碼相同。
例如，+9的補碼是00001001。
（2）負數的補碼：符號位為1，其餘位為該數絕對值的原碼按位取反；然後整個數加1。
例如，-7的補碼：因為是負數，則符號位為「1」,整個為10000111；其餘7位為-7的絕對值+7的原碼0000111按位取反為1111000；再加1，所以-7的補碼是11111001。
已知乙個數的補碼，求原碼的操作分兩種情況：
（1）如果補碼的符號位為「0」，表示是乙個正數，所以補碼就是該數的原碼。
（2）如果補碼的符號位為「1」，表示是乙個負數，求原碼的操作可以是：符號位為1，其餘各位取反，然後再整個數加1。
例如，已知乙個補碼為11111001，則原碼是10000111（-7）：因為符號位為「1」，表示是乙個負數，所以該位不變，仍為「1」；其餘7位1111001取反後為0000110；再加1，所以是10000111。
在「閒扯原碼、反碼、補碼」檔案中，沒有提到乙個很重要的概念「模」。我在這裡稍微介紹一下「模」的概念：
「模」是指乙個計量系統的計數範圍。如時鐘等。計算機也可以看成乙個計量機器，它也有乙個計量範圍，即都存在乙個「模」。例如：
時鐘的計量範圍是0～11，模=12。
表示n位的計算機計量範圍是0～2(n)-1，模=2（n）。【注：n表示指數】
「模」實質上是計量器產生「溢位」的量，它的值在計量器上表示不出來，計量器上只能表示出模的餘數。任何有模的計量器，均可化減法為加法運算。
例如：假設當前時針指向10點，而準確時間是6點，調整時間可有以下兩種撥法：
一種是倒撥4小時，即：10-4=6
另一種是順撥8小時：10+8=12+6=6
在以12模的系統中，加8和減4效果是一樣的，因此凡是減4運算，都可以用加8來代替。
對「模」而言，8和4互為補數。實際上以12模的系統中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有這個特性。共同的特點是兩者相加等於模。
對於計算機，其概念和方法完全一樣。n位計算機，設n=8，所能表示的最大數是11111111，若再加1稱為100000000(9位)，但因只有8位，最高位1自然丟失。又回了00000000，所以8位二進位制系統的模為2(8)。在這樣的系統中減法問題也可以化成加法問題，只需把減數用相應的補數表示就可以了。
把補數用到計算機對數的處理上，就是補碼。
關於算術運算的溢位問題，曾經我也迷茫過，而且不知道為什麼整型變數溢位後會是模運算的結果呢，以前還以為是不可以**的，不過弄懂了原碼、補碼的概念後，就發現其實都是有規律可循的，如果你還不太清楚補碼什麼東西，建議先看看隨筆『計算機中的原碼、反碼和補碼』，弄清楚整型資料在計算機中是如何儲存的。
在那篇文中，我們講述了為什麼我們把-1強製成無符號短整型輸出後會得到65535，在這裡我們不對它進行型別轉換，我們只是超出它的範圍看看。
還是定義乙個2位元組大小的短整型short int n;，學了前面的知識，我們知道這裡n的範圍是-32768~32767，而且通過前面知識我們也知道：
這裡的-32768在計算機中特殊表示為10000000 00000000
0~32767是00000000 00000000~01111111 11111111
-1~-32767是11111111 11111111~10000000 00000001
當我們賦值n=32767，我們先n+1，超出它的範圍，再輸出n看看，結果是-32768，為什麼？我們來分析一下，32767在記憶體中是以01111111 11111111儲存的，我們對這個二進位製碼加1運算看看，結果是10000000 00000000，它表示的數是多少，哈哈，這不就是-32768嗎？不甘心，也許是巧合呢，那我們再加1看看，結果是10000000 00000001，表示的是-32767，再多試幾個也一樣的。哦，原來不是巧合呀，正因為如此，所以我們就不用這麼繁瑣了，直接進行模運算就可以了！啊？什麼是模運算？昏……模運算就是除整取餘的運算。
在16位機器上進行下面的操作：//為什麼強調16位機器？因為16位機器上的int型的儲存空間是2個位元組
int weight=42896;
如果你把輸出，在16位機器中將不能得到42896，而是-22640。因為有符號整數的表示範圍是-32768~32767（共65536個數），所以它只能得到42896的補碼-22640（42896-65536=-22640）。
乙個整型型別的變數，用任何乙個超過表示範圍的整數初始化，得到的值為用該整數範圍作模運算後的值。例如：
int weight=142896;
則當weight是2位元組整型數時，得到值為11824。因為142896
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