容量網路:設g(v,e),是乙個有向網路,在v中指定了乙個頂點,稱為源點(記為vs),以及另乙個頂點,稱為匯點(記為vt);對於每一條弧屬於e,對應有乙個權值c(u,v)>0,稱為弧的容量.通常吧這樣的有向網路g稱為容量網路.
弧的流量:通過容量網路g中每條弧,上的實際流量(簡稱流量),記為f(u,v);
網路流:所有弧上流量的集合f=,稱為該容量網路的乙個網路流.
可行流:在容量網路g中滿足以下條件的網路流f,稱為可行流.
a.弧流量限制條件: 0<=f(u,v)<=c(u,v);
b:平衡條件:即流入乙個點的流量要等於流出這個點的流量,(源點和匯點除外).
若網路流上每條弧上的流量都為0,則該網路流稱為零流.
偽流:如果乙個網路流只滿足弧流量限制條件,不滿足平衡條件,則這種網路流為偽流,或稱為容量可行流.(預流推進演算法有用)
最大流:在容量網路中,滿足弧流量限制條件,且滿足平衡條件並且具有最大流量的可行流,稱為網路最大流,簡稱最大流.
弧的型別:
a.飽和弧:即f(u,v)=c(u,v);
b.非飽和弧:即f(u,v)c.零流弧:即f(u,v)=0;
d.非零流弧:即f(u,v)>0.
鏈:在容量網路中,稱頂點序列(u1,u2,u3,u4,..,un,v)為一條鏈要求相鄰的兩個頂點之間有一條弧.
設p是g中一條從vs到vt的鏈,約定從vs指向vt的方向為正方向.在鏈中並不要求所有的弧的方向都與鏈的方向相同.
a.前向弧(方向與鏈的正方向一致的弧),其集合記為p+,
b.後向弧(方向與鏈的正方向相反的弧),其集合記為p-.
增廣路:
設f是乙個容量網路g中的乙個可行流,p是從vs到vt 的一條鏈,若p滿足以下條件:
a.p中所有前向弧都是非飽和弧,
b.p中所有後向弧都是非零弧.
則稱p為關於可行流f 的一條增廣路.
沿這增廣路改進可行流的操作稱為增廣.
殘留容量:給定容量網路g(v,e),及可行流f,弧上的殘留容量記為cl(u,v)=c(u,v)-f(u,v).每條弧上的殘留容量表示這條弧上可以增加的流量.因為從頂點u到頂點v的流量減少,等效與從頂點v到頂點u的流量增加,所以每條弧上還有乙個反方向的殘留容量cl(v,u)=-f(u,v).
殘留網路:設有容量網路g(v,e)及其上的網路流f,g關於f的殘留網路記為g(v',e').其中g'的頂點集v'和g中頂點集g相同,v'=v.對於g中任何一條弧,如果f(u,v)屬於e',其容量為c'(u,v)=c(u,v)-f(u,v),如果f(u,v)>0,則在g'中有一條弧屬於e',其容量為c'(v,u)=f(u,v).殘留網路也稱為剩餘網路.
割:在容量網路g(v,e)中,設e'是e的子集,如果在g的基圖上刪去e'後不聯通,則稱e'是g的割.將割記為(s,t).
s-t割:如果割所劃分的兩個頂點子集滿足源點vs屬於s,匯點vt屬於t,則稱該割為s-t割.s-t割 中的弧(u,v),u屬於s,v屬於t,稱為割的前向弧,反之為割的反向弧.
割的容量:設(s,t)為容量網路g(v,e)的乙個割,其容量定義為所有前向弧的容量總和,用c(s,t)表示.
最小割:容量網路中容量最小的割.
割的淨流量:設f是容量網路g(v,e)的乙個可行流,(s,t)是g的乙個割,定義割的淨流量為f(s,t)等於f(u,v)之和(u屬於s,v屬於t).
統計割的淨流量時,反向弧的流量為負數,
統計割的容量時,不統計反向弧的容量.
網路流的流量等於任意割 的淨流量.小於或等於任意割的容量.
最大流最小割定理:最大流的流量等於最小割的容量.
網路流基本概念
網路流是圖論中乙個博大精深的分支。其最主要的難點在於各種模型的建立，我們需要熟練掌握其中的演算法模板並且充分理解其原理，積累建圖經驗，才能在遇到網路流的題目時從容應對。本篇blog主要介紹網路流的基本概念，弄清楚這些概念 定理及理解其證明，對於後面的學習會頗有助益。乙個流網路g v,e 是一張有向圖...
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流的基本概念
流的基本概念 流按照方向分，分為輸入流和輸出流。是以記憶體為參照物，將資料從資料來源中讀取到記憶體，為輸入流，也稱為讀取流。將資料從記憶體中寫入資料來源，為輸出流，也稱為寫入流。流按照型別分，分為位元組流 字元流和物件流。由於計算機採用二進位制。所以資料的傳輸都是以位元組為單位傳輸。所以，無論是哪種...