題目
骨牌,一種古老的玩具。今天我們要研究的是骨牌的覆蓋問題:
我們有乙個2xn的長條形棋盤,然後用1x2的骨牌去覆蓋整個棋盤。對於這個棋盤,一共有多少種不同的覆蓋方法呢?
舉個例子,對於長度為1到3的棋盤,我們有下面幾種覆蓋方式:
第1行:1個整數n。表示棋盤長度。1≤n≤100,000,000輸出
第1行:1個整數,表示覆蓋方案數 mod 19999997
樣例輸入
62247088
樣例輸出
17748018
前面幾組一寫,,很容易就能發現規律,是乙個線性遞推,甚至就是斐波那契。那麼下面就是解決巨大斐波那契取模的問題了。
當n很小的時候,我們直接通過遞推公式便可以計算。當n很大的時候,只要我們的電腦足夠好,我們仍然可以直接通過遞推公式來計算。
但是我們學演算法的,總是這樣直接列舉不是顯得很low麼,所以我們要用乙個好的演算法來加速(裝x)。
事實上,對於這種線性遞推式,我們可以用矩陣乘法來求第n項。對於本題fibonacci數列,我們希望找到乙個2x2的矩陣m,使得(a, b) x m = (b, a+b),其中(a, b)和(b, a+b)都是1x2的矩陣。
顯然,只需要取m = [0, 1; 1, 1]就可以了:
進一步得到:
那麼接下來的問題是,能不能快速的計算出m^n?我們先來分析一下冪運算。由於乘法是滿足結合律的,所以我們有:
不妨將k[1]..k[j]劃分的更好一點?
其中(k[1],k[2]...k[j])2表示將n表示成二進位制數後每一位的數字。上面這個公式同時滿足這樣乙個性質:
結合這兩者我們可以得到乙個演算法:
1. 先計算出所有的,因為該數列滿足遞推公式,時間複雜度為o(logn)
2. 將指數n二進位製化,再利用公式將對應的a^j相乘計算出a^n,時間複雜度仍然為o(logn)
則總的時間複雜度為o(logn)
這種演算法因為能夠在很短時間內求出冪,我們稱之為「快速冪」演算法。
**:
#include #include#includeusing namespace std;
const int maxn=4;
const int maxm=4;
const int mod=19999997;
struct matrix
matrix operator +(const matrix &b)const
{matrix tmp;
tmp.n=n;
tmp.m=m;
for(int i=0;i>t;
cout之所以wa了一炮是因為本地跑的時候用的,**上的g++不認,要用
hihocoder第41周 骨牌覆蓋(矩陣快速冪)
由於棋盤只有兩行,所以如果第i列的骨牌豎著放,那麼就轉移為第1列到第i 1列骨牌有多少種擺法 如果第一行第i列骨牌橫著放,那麼第二行第i列也要橫著放,那麼就轉移為了第1列到第i 2列骨牌有多少種方法 dp i dp i 1 dp i 2 但是列數太多了。這種遞推的算式可以用矩陣快速冪來優化 所以時間...
hihoCoder 骨牌覆蓋問題 一
時間限制 10000ms 單點時限 1000ms 記憶體限制 256mb 描述骨牌,一種古老的玩具。今天我們要研究的是骨牌的覆蓋問題 我們有乙個2xn的長條形棋盤,然後用1x2的骨牌去覆蓋整個棋盤。對於這個棋盤,一共有多少種不同的覆蓋方法呢?舉個例子,對於長度為1到3的棋盤,我們有下面幾種覆蓋方式 ...
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