約瑟夫環問題

問題描述：有n個人坐成一圈，編號為1到n，從編號為1的人開始傳遞熱馬鈴薯。m次傳遞之後，持有熱馬鈴薯的人退出遊戲，圈縮小，然後遊戲從退出人下面的人開始，繼續進行。最終留下來的人獲勝。這樣，如果m=0，n=5，那麼參加遊戲的人依次推出，5號獲勝。如果m=1，n=5，那麼退出的順序是2、4、1、5。

方法1：使用迴圈鍊錶的資料結構來解決。

**如下：

circularlist.h

//---------【利用迴圈鍊錶解決約瑟夫環問題】------------
#ifndef __circularlist__
#define __circularlist__
#include // 迴圈鍊錶的實現
class circularlist
};public:
circularlist(int n)
curr->next = first;
}	~circularlist()
delete first;
first = null;
}	void printlist() const
std::cout << std::endl;
}	// 時間複雜度：o(mn)
void erase(int m)
listnode *curr = first;
while(curr->next != curr)
std::cout << "the person out: " << curr->val << "\n";
prev->next = curr->next;
delete curr;
curr = prev->next;
first = curr;
printlist();
}		first = curr;
std::cout << "the winner is " << curr->val;
}private:
listnode *first;
};#endif

main.cpp

//-----------------【約瑟夫環問題】--------------------
#include "circlelist.h"
using namespace std;
int main(int argc, char const *argv)

方法2：使用數學推導。

原問題可以解釋為編號為1到n的人，從編號為1的人開始喊數字0，下乙個喊數字1，依次類推，直到有人喊數字m，則這個人退出遊戲。下乙個人又從0開始喊，直到只剩乙個人。

原序列1：1，.......，k-2，k-1，k，......，n（其中序號k-1出列）。

由推導可得，出列的序號為(m+1)%n（因為m可能比n大），所以有k-1=(m+1)%n，即k=(m+2)%n。

出列後得到序列2：1，.......，k-2，k，......，n。

將前面的k-2個元素放到序號n的後面，則得到序列3：k，......，n，1，.......，k-2。

將序號1及後面的序號全部加上n，則得到序列4：k，......，n，n+1，......，n+k-2。

再將全部序號減去k-1，得到序列5：1，......，n-1。

由於最後的勝利者在序列1中，也肯定在序列5中，設其在序列5中的序號為x，在序列1中的序號為x』，現在問題變為推導x和x'的關係。

從序列5到序列4，全部加上k-1即可，即x'=x+k-1。

其中比較難的的推導是從序列4到序列3，也就是將序列n+1，......，n+k-2這一部分變為1，......，k-2，其實就是對n取餘數，即x'=(x+k-1)%n。由於k=(m+2)%n，故x'=(x+m+1)%n。需要注意的是此時n會變為0，需要將其修改回來。

從序列3到序列2和序列1，序號沒有改變。

所以我們可以總結如下：

設i為剩餘參加比賽的人數，f[i]為最終勝利者的序號，有

f[1]=1；f[i]=(f[i-1]+m+1)%i（i>1）；如果f[i]==0，f[i]=i。

**如下：

#include int main(int argc, char const *argv)
printf("%d\n", winner);
return 0;
}

這種型別的問題還有其它的類似遞推公式：

f[1]=0；f[i]=(f[i-1]+m)%i（i>1）：人的序號為0到n-1，數字從1開始喊到m的情況。

f[1]=1；f[i]=(f[i-1]+m)%i（i>1）；如果f[i]==0，f[i]=i：人的序號為1到n，數字從1開始喊到m的情況。

將上面第一種情況的結果加上1也可得到第二種情況的結果，或者寫成f[1]=1；f[i]=(f[i-1]+m-1)%i

+ 1（i>1）。

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