動態規劃最長公共子串行問題 O nm

最長公共子串行也稱作最長公共子串(不要求連續)，英文縮寫為lcs（longest common subsequence）。其定義是，乙個序列 s ，如果分別是兩個或多個已知序列的子串行，且是所有符合此條件序列中最長的，則 s 稱為已知序列的最長公共子串行。

例如：x（a,

b,c,b,d,a,b）

y (b,d,c,a,b,a)

那麼最長公共子串行就是：b，c，b，a(細心地朋友已經發現了不止一種子串行，但長度一樣，至於輸出嗎，就看**吧)

演算法設計：用動態規劃方法解決

最長公共子串行的結構：

設x = ,y = 及它們的最長子序列z = 則：

1、若 xm = yn ，則 zk = xm = yn，且z[k-1] 是 x[m-1] 和 y[n-1] 的最長公共子串行

2、若 xm != yn ，且 zk != xm , 則 z 是 x[m-1] 和 y 的最長公共子串行

3、若 xm != yn , 且 zk != yn , 則 z 是 y[n-1] 和 x 的最長公共子串行

子問題的遞迴結構：

當 i = 0 , j = 0 時 , c[i][j] = 0

當 i , j > 0 ; xi = yi 時 , c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1

當 i , j > 0 ; xi != yi 時 , c[i][j] = max

問題的遞迴式寫成：

回溯輸出最長公共子串行過程**：

演算法分析：

由於每次呼叫至少向上或向左（或向上向左同時）移動一步，故最多呼叫(m + n)次就會遇到i = 0或j = 0的情況，此時開始返回。返回時與遞迴呼叫時方向相反，步數相同，故演算法時間複雜度為o(m + n)。

動態規劃 最長公共子串行問題 O nm