演算法導論貪心演算法之赫夫曼編碼

討論赫夫曼編碼問題，赫夫曼編碼的思想就是變長編碼。變長編碼就是讓字元表中出現概率高的字元的編碼長度盡可能小，而出現概率高的字元的編碼長度相對較長。然後還要遵循字首碼的要求，就是任意乙個編碼都不是其他編碼的字首碼，這樣方便解碼。

對於下表中的字元和相應的出現概率，有對應圖中的編碼樹：

可以比較容易的看出來，每個葉節點就代表乙個字元，從根節點到葉節點走過的路徑拼接起來，就代表這個字元的編碼，比如f是1100，e是1101，而f和e是深度最深的節點也是概率最小的兩個節點。這也就是我們要求的赫夫曼編碼形式。這種最優的編碼形式，總是一顆滿的二叉樹。

算導上有大量的篇幅來論證用貪心演算法，每次選擇概率最小的兩個節點來，可以完成赫夫曼編碼。這裡只說實現方法。

由於每次都要找出出現概率最小的那個節點，彈出來，並刪掉，所以我們可以使用最小優先佇列來做。注意一點是，編碼樹的葉子節點個數等於字元的個數，而內部節點個數則等於字元的個數減去一，所以求內部節點的迴圈只需要n-1次即可，n為字元數。

小根堆操作：

#include #include using namespace std;
#define max_index 11
struct node 
};//陣列從1號元素開始算起
int left_child(int i) 
int right_child(int i) 
int parent(int child) 
void swap(node* a, node* b) 
void print_heap(node* a, int len) 
cout << endl;}/*
* 將乙個左右子樹都是小根堆的堆轉化成小根堆
*/void min_heapify(node heap, int root, int n) 
if (r <= n && heap[min].freq > heap[r].freq) 
if (min != root) }/*
* 構建乙個小根堆
*/void build_min_heap(node heap, int n) 
}

最小優先佇列操作：

/*
* 最小優先佇列要實現的操作：
* * ①insert(s,x)
* * ②minimum(s)
* * ③extract_min(s)
* * ④decrease_key(s,x,k)
* */
/* * 最小優先佇列
*/struct min_priority_queue 
};/*
* 返回最小元素
*/node* heap_minimum(min_priority_queue* mpq) 
return mpq->min_heap + 1;}/*
* 彈出並移除最小的元素
*/node* heap_extract_min(min_priority_queue* mpq) 
//這裡必須要新建乙個節點返回去，如果直接返回原節點，則會導致後面insert的時候，左右孩子的指標指向的內容發生變化
//新建乙個節點
node* min = new node();
//複製最小節點的內容到新建節點，最後將新建的節點的指標返回
*min = *(mpq->min_heap + 1);
swap(mpq->min_heap + 1, mpq->min_heap + mpq->len);
//刪除彈出的節點，防止記憶體洩露
delete (mpq->min_heap + mpq->len);
//將最後乙個節點從堆中去掉
(mpq->len)--;
//重新維護小根堆的性質
min_heapify(mpq->min_heap, 1, mpq->len);
//返回min
return min;}/*
* 把優先佇列中原來為x的元素的值，換成k，並維護最小堆的性質
*/void heap_decrease_key(min_priority_queue* mpq, int i, node* n) 
mpq->min_heap[i].freq = n->freq;
while (i >= 1 && mpq->min_heap[i].freq < mpq->min_heap[parent(i)].freq) }/*
* 插入元素
*/void heap_insert(min_priority_queue* mpq, node* n) 
/* * 列印節點陣列
*/void print_node_array(node* n_arr, int max_index) 
cout << endl;
}

赫夫曼編碼形成編碼樹：

//哈夫曼編碼樹
struct huffman_tree
};/*
* 赫夫曼編碼，返回編碼樹的頭結點
*/void huffman(min_priority_queue* mpq,huffman_tree* t) 
//	return heap_extract_min(mpq);
t->root=heap_extract_min(mpq);}/*
* 中序遍歷編碼樹
*/void print_coded_tree(node* root) }/*
* 刪除編碼樹的節點
*/void delete_coded_tree(node* root) 
}int main() ;
node node_arr[max_index + 1];
for (int i = 0; i < 12; i++) 
//新建乙個最小優先佇列物件，應用上面的陣列
min_priority_queue* mpq = new min_priority_queue(node_arr, max_index);
huffman_tree* t = new huffman_tree();
huffman(mpq,t);
print_coded_tree(t->root); //10個內部節點和原來的11個葉子節點，一共21個節點
delete_coded_tree(t->root);
return 0;
}

形成小根堆耗時o(n)，而在huffman(min_priority_queue* mpq,huffman_tree* t)中的n-1次for迴圈，每次for 都要做常數次維護小根堆性質的操作，每次的複雜度為o(lgn)，所以總共是：o(n+n*lgn)=o(nlgn)。

演算法導論貪心演算法之赫夫曼編碼

小白高階之貪心演算法赫夫曼編碼

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